Теорема Давенпорта – Эрдеша - Davenport–Erdős theorem

В теория чисел, то Теорема Давенпорта – Эрдеша утверждает, что для наборов кратных целых чисел несколько различных понятий плотность эквивалентны.^[1]^[2]^[3]

Позволять ${ displaystyle A = a_ {1}, a_ {2}, dots}$ последовательность натуральных чисел. Тогда кратные ${ displaystyle A}$ другой набор ${ Displaystyle М (А)}$ который можно определить как множество ${ Displaystyle М (А) = {ка середина к ин mathbb {N}, а ин А }}$ чисел, образованных умножением членов ${ displaystyle A}$ произвольными натуральными числами.^[1]^[2]^[3]

Согласно теореме Дэвенпорта – Эрдеша для множества ${ Displaystyle М (А)}$ , следующие понятия плотности эквивалентны в том смысле, что все они производят одно и то же число для плотности ${ Displaystyle М (А)}$ :^[1]^[2]^[3]

Нижний естественная плотность, то нижний предел в качестве ${ displaystyle n}$ стремится к бесконечности пропорции членов ${ Displaystyle М (А)}$ в интервале ${ Displaystyle [1, п]}$ .
В логарифмическая плотность или мультипликативная плотность, взвешенная доля членов ${ Displaystyle М (А)}$ в интервале ${ Displaystyle [1, п]}$ , опять же в пределе, где вес элемента ${ displaystyle a}$ является ${ displaystyle 1 / a}$ .
Последовательная плотность, определяемая как предел (как ${ displaystyle i}$ стремится к бесконечности) плотностей множеств ${ Displaystyle М ( {а_ {1}, точки а_ {я} })}$ кратных первому ${ displaystyle i}$ элементы ${ displaystyle A}$ . Поскольку эти множества можно разложить на конечное число непересекающихся арифметические прогрессии, их плотности четко определены без ограничений.

Однако существуют последовательности ${ displaystyle A}$ и их наборы кратных ${ Displaystyle М (А)}$ для которого верхняя естественная плотность (взятая с использованием верхний предел вместо нижнего предела) отличается от нижнего предела, и для которого сама естественная плотность (предел той же последовательности значений) не существует.^[4]

Теорема названа в честь Гарольд Давенпорт и Пол Эрдёш, опубликовавший его в 1936 году.^[5] В их первоначальном доказательстве использовалось Тауберова теорема Харди – Литтлвуда; позже они опубликовали другое, элементарное доказательство.^[6]

Смотрите также

Последовательность Беренда, последовательность ${ displaystyle A}$ для которой плотность ${ Displaystyle М (А)}$ описывается этой теоремой, является одним

Рекомендации

^ ^а ^б ^c Альсведе, Рудольф; Хачатрян, Левон Х. (1997), "Классические результаты по примитивным и недавние результаты по кросс-примитивным последовательностям", Математика Пола Эрдёша, I, Алгоритмы и комбинаторика, 13, Берлин: Springer, Теорема 1.11, с. 107, Дои:10.1007/978-3-642-60408-9_9, МИСТЕР 1425179
^ ^а ^б ^c Холл, Ричард Р. (1996), Наборы кратных, Кембриджские трактаты по математике, 118, Издательство Кембриджского университета, Кембридж, Теорема 0.2, с. 5, Дои:10.1017 / CBO9780511566011, ISBN 0-521-40424-X, МИСТЕР 1414678
^ ^а ^б ^c Тененбаум, Жеральд (2015), Введение в аналитическую и вероятностную теорию чисел, Аспирантура по математике, 163 (3-е изд.), Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, Теорема 249, с. 422, ISBN 978-0-8218-9854-3, МИСТЕР 3363366
^ Безикович, А.С. (1935), «О плотности некоторых последовательностей целых чисел», Mathematische Annalen, 110 (1): 336–341, Дои:10.1007 / BF01448032, МИСТЕР 1512943
^ Давенпорт, Х.; Эрдеш, П. (1936), «О последовательностях натуральных чисел» (PDF), Acta Arithmetica, 2: 147–151
^ Давенпорт, Х.; Эрдеш, П. (1951), «О последовательностях натуральных чисел» (PDF), J. Indian Math. Soc. (Н.С.), 15: 19–24, МИСТЕР 0043835

[ak-1] а ^б ^c Альсведе, Рудольф; Хачатрян, Левон Х. (1997), "Классические результаты по примитивным и недавние результаты по кросс-примитивным последовательностям", Математика Пола Эрдёша, I, Алгоритмы и комбинаторика, 13, Берлин: Springer, Теорема 1.11, с. 107, Дои:10.1007/978-3-642-60408-9_9, МИСТЕР 1425179

[h-2] а ^б ^c Холл, Ричард Р. (1996), Наборы кратных, Кембриджские трактаты по математике, 118, Издательство Кембриджского университета, Кембридж, Теорема 0.2, с. 5, Дои:10.1017 / CBO9780511566011, ISBN 0-521-40424-X, МИСТЕР 1414678

[t-3] а ^б ^c Тененбаум, Жеральд (2015), Введение в аналитическую и вероятностную теорию чисел, Аспирантура по математике, 163 (3-е изд.), Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, Теорема 249, с. 422, ISBN 978-0-8218-9854-3, МИСТЕР 3363366

[b-4] Безикович, А.С. (1935), «О плотности некоторых последовательностей целых чисел», Mathematische Annalen, 110 (1): 336–341, Дои:10.1007 / BF01448032, МИСТЕР 1512943

[de1-5] Давенпорт, Х.; Эрдеш, П. (1936), «О последовательностях натуральных чисел» (PDF), Acta Arithmetica, 2: 147–151

[de2-6] Давенпорт, Х.; Эрдеш, П. (1951), «О последовательностях натуральных чисел» (PDF), J. Indian Math. Soc. (Н.С.), 15: 19–24, МИСТЕР 0043835

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]