Ядро Бергмана - Bergman kernel - Wikipedia

в математический исследование несколько сложных переменных, то Ядро Бергмана, названный в честь Стефан Бергман, это воспроизводящее ядро для Гильбертово пространство из всех квадратично интегрируемый голоморфные функции на домене D вC^п.

Подробно пусть L²(D) - гильбертово пространство квадратично интегрируемых функций на D, и разреши L^2,час(D) обозначают подпространство, состоящее из голоморфных функций в D: то есть,

${\displaystyle L^{2,h}(D)=L^{2}(D)\cap H(D)}$

куда ЧАС(D) - пространство голоморфных функций в D. потом L^2,час(D) является гильбертовым пространством: это закрыто линейное подпространство L²(D), и поэтому полный согласно своему праву. Это следует из фундаментальной оценки, что для голоморфной квадратично интегрируемой функции ƒ в D

${\displaystyle \sup _{z\in K}|f(z)|\leq C_{K}\|f\|_{L^{2}(D)}}$

(1)

для каждого компактный подмножество K из D. Таким образом, сходимость последовательности голоморфных функций в L²(D) следует также компактная сходимость, а значит, и предельная функция голоморфна.

Еще одно следствие (1) состоит в том, что для каждого z ∈ D, оценка

${\displaystyle \operatorname {ev} _{z}:f\mapsto f(z)}$

это непрерывный линейный функционал на L^2,час(D). Посредством Теорема Рисса о представлении, этот функционал можно представить как внутренний продукт с элементом L^2,час(D), то есть

${\displaystyle \operatorname {ev} _{z}f=\int _{D}f(\zeta ){\overline {\eta _{z}(\zeta )}}\,d\mu (\zeta ).}$

Ядро Бергмана K определяется

${\displaystyle K(z,\zeta )={\overline {\eta _{z}(\zeta )}}.}$

Ядро K(z, ζ) голоморфна в z и антиголоморфна по ζ, и удовлетворяет

${\displaystyle f(z)=\int _{D}K(z,\zeta )f(\zeta )\,d\mu (\zeta ).}$

Одно из ключевых наблюдений по поводу этой картины состоит в том, L^2,час(D) можно отождествить с пространством ${\displaystyle L^{2}}$ голоморфных (n, 0) -форм на D умножением на ${\displaystyle dz^{1}\wedge \cdots \wedge dz^{n}}$. Поскольку ${\displaystyle L^{2}}$ скалярное произведение на этом пространстве явно инвариантно относительно биголоморфизмов D, ядра Бергмана и ассоциированного Метрика Бергмана поэтому автоматически инвариантны относительно группы автоморфизмов области.

Смотрите также

• Метрика Бергмана
• Пространство Бергмана
• Ядро сегу

Рекомендации

• Кранц, Стивен Г. (2002), Теория функций нескольких комплексных переменных, Провиденс, Р.И.: Американское математическое общество, ISBN  978-0-8218-2724-6.
• Чирка, Э.М. (2001) [1994], «Функция ядра Бергмана», Энциклопедия математики, EMS Press.