Берманский поток - Berman flow - Wikipedia

В динамика жидкостей, Берманский поток представляет собой устойчивый поток, создаваемый внутри прямоугольного канала с двумя равными пористый стены. Концепция названа в честь ученого Абрахама С. Бермана, сформулировавшего проблему в 1953 году.^[1]

Описание потока

Рассмотрим прямоугольный канал, ширина которого намного больше высоты. Пусть расстояние между верхней и нижней стенкой будет ${\displaystyle 2h}$ и выберем координаты так, чтобы ${\displaystyle x=0,\ y=0}$ лежит посередине между двумя стенами, с ${\displaystyle y}$ точки, перпендикулярные плоскостям. Пусть обе стенки будут пористыми с одинаковой скоростью ${\displaystyle V}$. Тогда уравнение неразрывности и Уравнения Навье – Стокса для несжимаемой жидкости стать^[2]

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {\partial v}{\partial y}}&=0\\u{\frac {\partial u}{\partial x}}+v{\frac {\partial u}{\partial y}}&=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial p}{\partial x}}+\nu \left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}\right),\\u{\frac {\partial v}{\partial x}}+v{\frac {\partial v}{\partial y}}&=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial p}{\partial y}}+\nu \left({\frac {\partial ^{2}v}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}v}{\partial y^{2}}}\right)\end{aligned}}}$

с граничными условиями

${\displaystyle u(x,\pm h)=0,\quad \left({\frac {\partial u}{\partial y}}\right)_{y=0}=0,\quad v(x,0)=0,\quad v(x,\pm h)=V}$

Граничные условия в центре обусловлены симметрией. Поскольку решение симметрично над плоскостью ${\displaystyle y=0}$, достаточно описать только половину потока, скажем, для ${\displaystyle y>0}$. Если мы ищем ${\displaystyle v}$ решение, которое не зависит от ${\displaystyle x}$, уравнение неразрывности диктует, что горизонтальная скорость ${\displaystyle u}$ может быть не более чем линейной функцией ${\displaystyle x}$.^[3] Поэтому Берман ввел следующую форму:

${\displaystyle \eta ={\frac {y}{h}},\quad \psi (x,\eta )=[h{\bar {u}}_{o}-xV]f(\eta ),\quad u=\left(u_{o}-{\frac {Vx}{h}}\right)f'(\eta ),\quad v=Vf(\eta )}$

куда ${\displaystyle u_{o}(\eta )}$ - произвольная функция, и со временем она будет исключена из проблемы. Подстановка этого в уравнение импульса приводит к

${\displaystyle {\begin{aligned}-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial p}{\partial x}}&=\left({\bar {u}}_{o}-{\frac {Vx}{h}}\right)\left(-{\frac {V}{h}}[f'^{2}-ff'']-{\frac {\nu }{h^{2}}}f'''\right),\\-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial p}{\partial \eta }}&=\nu {\frac {dv}{d\eta }}-{\frac {\nu }{h}}{\frac {d^{2}v}{d\eta ^{2}}}\end{aligned}}}$

Берманский поток

Дифференцируя второе уравнение по ${\displaystyle x}$ дает ${\displaystyle \partial ^{2}p/\partial x\partial \eta =0}$ это можно подставить в первое уравнение после взятия производной по ${\displaystyle \eta }$ что приводит к

${\displaystyle f^{iv}+\operatorname {Re} (f'^{2}-ff'')'=0}$

куда ${\displaystyle \operatorname {Re} =Vh/\nu }$ это Число Рейнольдса. Интегрируя один раз, получаем

${\displaystyle f'''+\operatorname {Re} (f'^{2}-ff'')=C}$

с граничными условиями

${\displaystyle f(0)=f''(0)=f(1)-1=f'(1)=0}$

Это нелинейное обыкновенное дифференциальное уравнение третьего порядка требует трех граничных условий, а четвертое граничное условие заключается в определении постоянной ${\displaystyle C}$. и это уравнение имеет несколько решений.^[4][5] На рисунке показано численное решение для низкого числа Рейнольдса, решение уравнения для большого числа Рейнольдса не является тривиальным вычислением.

Смотрите также

• Поток Тейлора – Кулика

Рекомендации

1. Берман, Абрахам С. «Ламинарное течение в каналах с пористыми стенками». Журнал прикладной физики 24.9 (1953): 1232–1235.
2. Дразин, П. Г., и Райли, Н. (2006). Уравнения Навье-Стокса: классификация потоков и точные решения (№ 334). Издательство Кембриджского университета.
3. Праудмен, И. (1960). Пример устойчивого ламинарного течения при большом числе Рейнольдса. Журнал гидромеханики, 9 (4), 593-602.
4. Ван, C-A., T-W. Хван и И-И. Чен. «Существование решений уравнения Бермана для ламинарных течений в пористом канале с отсосом». Компьютеры и математика с приложениями 20.2 (1990): 35–40.
5. Хван, Цзы-Вэй и Цзин-Ань Ван. «О нескольких решениях проблемы Бермана». Труды Королевского общества Эдинбурга: Секция математики 121.3-4 (1992): 219–230.