Треугольник Бернулли - Bernoullis triangle - Wikipedia

Треугольник Бернулли является множество из частичные суммы из биномиальные коэффициенты. Для любого неотрицательного целого числа п и для любого целого k включено от 0 до п, компонент в строке п и столбец k дан кем-то:

${\displaystyle \sum _{p=0}^{k}{n \choose p},}$

т.е. сумма первых k пбиномиальные коэффициенты-го порядка.^[1] Первые ряды треугольника Бернулли:

${\displaystyle {\begin{array}{cc|cccccc}&k&0&1&2&3&4&5\\n&&\\\hline 0&&1\\1&&1&2\\2&&1&3&4\\3&&1&4&7&8\\4&&1&5&11&15&16\\5&&1&6&16&26&31&32\end{array}}}$

Аналогично Треугольник Паскаля, каждый компонент треугольника Бернулли представляет собой сумму двух компонентов предыдущей строки, за исключением последнего номера каждой строки, который в два раза больше последнего номера предыдущей строки. Например, если ${\displaystyle B_{n,k}}$ обозначает компонент в строке п и столбец k, тогда:

${\displaystyle {\begin{aligned}B_{n,k}=&B_{n-1,k}+B_{n-1,k-1}&{\mbox{ if }}&k<n\\B_{n,k}=&2B_{n-1,k-1}&{\mbox{ if }}&k=n\end{aligned}}}$

Как в треугольнике Паскаля и других аналогичных треугольниках,^[2] суммы компонентов вдоль диагональных путей в треугольнике Бернулли приводят к Числа Фибоначчи.^[3]

Рекомендации

1. Он-лайн энциклопедия целочисленных последовательностей
2. Хоггатт-младший В. Э. Новый угол треугольника Паскаля. Ежеквартальный отчет Фибоначчи 6(4) (1968) 221–234; Хоггатт-младший В. Э. Треугольники свертки для обобщенных чисел Фибоначчи. Ежеквартальный отчет Фибоначчи 8(2) (1970) 158–171
3. Д. Нейтер и А. Проаг, Связи между суммами по путям в треугольниках Бернулли и числами Фибоначчи, Журнал целочисленных последовательностей, 19 (2016) 16.8.3.

внешняя ссылка

• Последовательность чисел, образованная треугольником Бернулли на Он-лайн энциклопедия целочисленных последовательностей: https://oeis.org/A008949.

Треугольник Бернулли