Определимость Бета - Beth definability

В математическая логика, Определимость Бета является результатом, который связывает неявную определимость свойства с его явной определимостью, в частности теорема утверждает, что два смысла определимость эквивалентны.

утверждение

Теорема утверждает, что, учитывая теория первого порядка Т на языке L '⊇ L и a формула φ в L ', то следующие утверждения эквивалентны:

  • для любых двух моделей А и B из Т такой, что А|L = B|L (где А|L это сокращать из А к L), это тот случай, когда А ⊨ φ [а] если и только если B ⊨ φ [а] (для всех кортежей a из А)
  • φ эквивалентно по модулю Т формуле ψ в L.

Менее формально: свойство неявно определимо в теории на языке L (посредством введения нового символа φ расширенного языка L '), только если это свойство явно определимо в этой теории (формулой ψ в исходном языке L).

Ясно, что верно и обратное, так что имеется эквивалентность между неявной и явной определимостью. То есть «свойство» неявно определимо по отношению к теории тогда и только тогда, когда оно определимо явно.

Теорема не выполняется, если условие ограничивается конечными моделями. У нас может быть А ⊨ φ [а] если и только если B ⊨ φ [а] для всех пар A, B конечных моделей без каких-либо L-формула ψ эквивалентна φ по модулю T.

Результат был впервые доказан Эверт Виллем Бет.

Источники

  • Ходжес В. Более короткая модельная теория. Издательство Кембриджского университета, 1997.