Бикли Джет - Bickley jet - Wikipedia

В динамика жидкостей, Бикли Джет является устойчивой двумерной ламинарной плоскостью струя с большой струей Число Рейнольдса выходящий в покоящуюся жидкость, названный в честь У. Г. Бикли, который дал аналитическое решение в 1937 г.,^[1] к проблеме, полученной Schlichting в 1933 г.^[2] а соответствующая задача в осесимметричных координатах называется Струя Schlichting. Решение справедливо только для расстояний, удаленных от источника струи.

Описание потока^[3][4]

Рассмотрим устойчивую плоскость, выходящую в ту же самую жидкость, тип погруженных струй из узкой щели, которая должна быть очень маленькой (такая, что жидкость теряет память о форме и размере щели вдали от источника, он помнит только чистый поток импульса). Пусть скорость будет ${\displaystyle (u,v)}$ в декартовой координате, а ось струи - ${\displaystyle x}$ ось с началом в отверстии. Течение автомодельно для больших Число Рейнольдса (струя такая тонкая, что ${\displaystyle u(x,y)}$ изменяется гораздо быстрее в поперечном ${\displaystyle y}$ направление, чем продольное ${\displaystyle x}$ направление) и может быть аппроксимировано пограничный слой уравнения.

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {\partial v}{\partial y}}&=0,\\u{\frac {\partial u}{\partial x}}+v{\frac {\partial u}{\partial y}}&=\nu {\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}},\end{aligned}}}$

куда ${\displaystyle \nu }$ это кинематическая вязкость и давление везде равно внешнему давлению жидкости, так как жидкость находится в состоянии покоя далеко от центра струи.

${\displaystyle u\rightarrow 0}$ в качестве ${\displaystyle y\rightarrow \pm \infty }$,

и поскольку поток симметричен относительно ${\displaystyle x}$ ось

${\displaystyle v=0}$ в ${\displaystyle y=0}$,

а также поскольку нет твердой границы и давление постоянно, поток импульса ${\displaystyle M}$ через любую плоскость, нормальную к ${\displaystyle x}$ ось должна быть такой же

${\displaystyle M=2\rho \int _{0}^{\infty }u^{2}\,dy}$

постоянная, где ${\displaystyle \rho }$ которая также постоянна для несжимаемого потока.

Доказательство постоянного потока осевого импульса

Условие постоянного потока количества движения может быть получено путем интегрирования уравнения количества движения поперек струи.

${\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{-\infty }^{\infty }u{\frac {\partial u}{\partial x}}\,dy+\int _{-\infty }^{\infty }v{\frac {\partial u}{\partial y}}\,dy=\left[\nu {\frac {\partial u}{\partial y}}\right]_{-\infty }^{\infty },\\[10pt]&{\frac {d}{dx}}\int _{-\infty }^{\infty }u^{2}\,dy=0,\quad \Rightarrow \quad \int _{0}^{\infty }u^{2}\,dy={\text{constant}}.\end{aligned}}}$

куда ${\displaystyle v\partial u/\partial y=\partial (uv)/\partial y-u\partial v/\partial y=\partial (uv)/\partial y+u\partial u/\partial x}$ используется для упрощения приведенного выше уравнения. Поток массы ${\displaystyle Q}$ через любое поперечное сечение перпендикулярно ${\displaystyle x}$ ось не является постоянной, потому что происходит медленное увлечение внешней жидкостью в струю, и это часть решения пограничного слоя. В этом легко убедиться, интегрировав уравнение неразрывности через пограничный слой.

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\partial u}{\partial x}}\,dy+\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\partial v}{\partial y}}\,dy&=0,\\[8pt]{\frac {d}{dx}}\int _{-\infty }^{\infty }u\,dy=-{\Big [}v{\Big ]}_{-\infty }^{\infty }&=-2v(x,\infty ).\end{aligned}}}$

где условие симметрии ${\displaystyle v(x,-\infty )=-v(x,\infty )}$ используется.

Автомодельное решение^[5][6][7]

Автомодельное решение получается путем введения преобразования

${\displaystyle \eta ={\frac {y}{x^{2/3}}},\quad u={\frac {6\nu }{x^{1/3}}}F'(\eta ),\quad v={\frac {2\nu }{x^{2/3}}}(2\eta F'(\eta )-F(\eta ))}$

уравнение сводится к

${\displaystyle F'''+2FF''+2F'^{2}=0,}$

а граничные условия становятся

${\displaystyle F'(\pm \infty )=0,\quad F(0)=0,\quad M=72\nu ^{2}\rho \int _{0}^{\infty }F'^{2}\,d\eta .}$

Точное решение дается

${\displaystyle F(\eta )=\alpha \tanh \alpha \eta }$

куда ${\displaystyle \alpha }$ решается из следующего уравнения

${\displaystyle M=72\nu ^{2}\rho \int _{0}^{\infty }\operatorname {sech} ^{4}\eta \,d\eta =48\nu ^{2}\rho \alpha ^{3},\quad \Rightarrow \quad \alpha =\left({\frac {M}{48\nu ^{2}\rho }}\right)^{1/3}.}$

Сдача

${\displaystyle \xi =\alpha \eta =0.2752\left({\frac {M}{\nu ^{2}\rho }}\right)^{1/3}{\frac {y}{x^{2/3}}},}$

скорость определяется выражением

${\displaystyle {\begin{aligned}u&=0.4543\left({\frac {M^{2}}{\nu \rho ^{2}x}}\right)^{1/3}\operatorname {sech} ^{2}\xi ,\\v&=0.5503\left({\frac {M\nu }{\rho x^{2}}}\right)^{1/3}(2\xi \operatorname {sech} ^{2}\xi -\tanh \xi ).\end{aligned}}}$

Массовый расход ${\displaystyle Q}$ через самолет на расстоянии ${\displaystyle x}$ от отверстия по нормали к жиклеру

${\displaystyle Q=2\rho \int _{0}^{\infty }u\,dy=3.3019(M\nu ^{2}\rho x)^{1/3}.}$

Смотрите также

• Джет Ландау – Сквайра

Рекомендации

1. Бикли, У. Г. "LXXIII. Самолет". Лондонский, Эдинбургский и Дублинский философский журнал и научный журнал 23.156 (1937): 727-731. (Оригинальная статья:http://www.tandfonline.com/doi/abs/10.1080/14786443708561847?journalCode=tphm18 )
2. Шлихтинг, Герман. "Laminare strahlausbreitung". ZAMM ‐ Journal of Applied Mathematics and Mechanics / Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik 13.4 (1933): 260-263.
3. Кунду П. К. и Л. М. Коэн. «Гидромеханика, 638 с.» Академик, Калифорния (1990).
4. Позрикидис, Костас и Джоэл Х. Ферцигер. «Введение в теоретическую и вычислительную гидродинамику». (1997): 72–74.
5. Розенхед, Луи, изд. Ламинарные пограничные слои. Кларендон Пресс, 1963 год.
6. Ачесон, Дэвид Дж. Элементарная гидродинамика. Издательство Оксфордского университета, 1990.
7. Дразин, Филип Г., и Норман Райли. Уравнения Навье – Стокса: классификация потоков и точные решения. № 334. Издательство Кембриджского университета, 2006.