Джет Ландау – Сквайра - Landau–Squire jet

В динамика жидкостей, Джет Ландау – Сквайра или же Затопленная струя Ландау описывает круглую затопленную струю, исходящую из точечного источника импульса в бесконечную жидкую среду того же типа. Это точное решение уравнений Навье-Стокса, которое было впервые обнаружено Лев Ландау в 1944 г.^[1][2] а позже Герберт Сквайр в 1951 г.^[3] Фактически, автомодельное уравнение было впервые выведено Н. А. Слезкиным в 1934 г.^[4] но никогда не относился к струе. Следуя работам Ландау, В. И. Яцеев в 1950 г. получил общее решение уравнения.^[5]

Математическое описание

Линии тока струи Ландау-Сквайра при c = 0,01

Линии тока струи Ландау-Сквайра при c = 0,1

Линии тока струи Ландау-Сквайра при c = 1

Проблема описана в сферические координаты ${\displaystyle (r,\theta ,\phi )}$ с компонентами скорости ${\displaystyle (u,v,0)}$. Течение осесимметрично, т.е. не зависит от ${\displaystyle \phi }$. Тогда уравнение неразрывности и несжимаемая Уравнения Навье – Стокса сократить до

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}(r^{2}u)+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}(v\sin \theta )=0\\[8pt]&u{\frac {\partial u}{\partial r}}+{\frac {v}{r}}{\frac {\partial u}{\partial \theta }}-{\frac {v^{2}}{r}}=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial p}{\partial r}}+\nu \left(\nabla ^{2}u-{\frac {2u}{r^{2}}}-{\frac {2}{r^{2}}}{\frac {\partial v}{\partial \theta }}-{\frac {2v\cot \theta }{r^{2}}}\right)\\[8pt]&u{\frac {\partial v}{\partial r}}+{\frac {v}{r}}{\frac {\partial v}{\partial \theta }}+{\frac {uv}{r}}=-{\frac {1}{\rho r}}{\frac {\partial p}{\partial \theta }}+\nu \left(\nabla ^{2}v+{\frac {2}{r^{2}}}{\frac {\partial u}{\partial \theta }}-{\frac {v}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}\right)\end{aligned}}}$

куда

${\displaystyle \nabla ^{2}={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}{\frac {\partial }{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}\right).}$

Для решения доступно автомодельное описание в следующем виде:^[6]

${\displaystyle u={\frac {\nu }{r\sin \theta }}f'(\theta ),\quad v=-{\frac {\nu }{r\sin \theta }}f(\theta ).}$

Подставляя указанную выше автомодельную форму в основные уравнения и используя граничные условия ${\displaystyle u=v=p-p_{\infty }=0}$ на бесконечности давление находится в виде

${\displaystyle {\frac {p-p_{\infty }}{\rho }}=-{\frac {v^{2}}{2}}+{\frac {\nu u}{r}}+{\frac {c_{1}}{r^{2}}}}$

куда ${\displaystyle c_{1}}$ является константой. Используя это давление, снова находим из уравнения импульса:

${\displaystyle -{\frac {u^{2}}{r}}+{\frac {v}{r}}{\frac {\partial u}{\partial \theta }}={\frac {\nu }{r^{2}}}\left[2u+{\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial u}{\partial \theta }}\right)\right]+{\frac {2c_{1}}{r^{3}}}.}$

Замена ${\displaystyle \theta }$ к ${\displaystyle \mu =\cos \theta }$ как независимая переменная, скорости становятся

${\displaystyle u=-{\frac {\nu }{r}}f'(\mu ),\quad v=-{\frac {\nu }{r}}{\frac {f(\mu )}{\sqrt {1-\mu ^{2}}}}}$

(для краткости используется тот же символ для ${\displaystyle f(\theta )}$ и ${\displaystyle f(\mu )}$ хотя функционально они одинаковы, но принимают разные числовые значения), и уравнение становится

${\displaystyle f'^{2}+ff''=2f'+[(1-\mu ^{2})f'']'-2c_{1}.}$

После двух интегрирований уравнение сводится к

${\displaystyle f^{2}=4\mu f+2(1-\mu ^{2})f'-2(c_{1}\mu ^{2}+c_{2}\mu +c_{3}),}$

куда ${\displaystyle c_{2}}$ и ${\displaystyle c_{3}}$ - константы интегрирования. Вышеприведенное уравнение представляет собой Уравнение Риккати. После некоторых вычислений можно показать, что общее решение имеет вид

${\displaystyle f=\alpha (1+\mu )+\beta (1-\mu )+{\frac {2(1-\mu ^{2})(1+\mu )^{\beta }}{(1-\mu )^{\alpha }}}\left[c-\int _{1}^{\mu }{\frac {(1+\mu )^{\beta }}{(1-\mu )^{\alpha }}}\right]^{-1},}$

куда ${\displaystyle \alpha ,\ \beta ,\ c}$ являются константами. Физически релевантное решение струи соответствует случаю ${\displaystyle \alpha =\beta =0}$ (Эквивалентно мы говорим, что ${\displaystyle c_{1}=c_{2}=c_{3}=0}$, так что решение не имеет особенностей на оси симметрии, кроме начала координат).^[7] Следовательно,

${\displaystyle f={\frac {2(1-\mu ^{2})}{c+1-\mu }}={\frac {2\sin ^{2}\theta }{c+1-\cos \theta }}.}$

Функция ${\displaystyle f}$ относится к функция потока в качестве ${\displaystyle \psi =\nu rf}$, таким образом, контуры ${\displaystyle f}$ для разных значений ${\displaystyle c}$ обеспечивает оптимизацию. Постоянная ${\displaystyle c}$ описывает силу в начале координат, действующую в направлении струи (эта сила равна скорости передачи импульса через любую сферу вокруг начала координат плюс силу в направлении струи, прилагаемую сферой из-за давления и сил вязкости), точное соотношение между силой и константой дается выражением

${\displaystyle {\frac {F}{2\pi \rho \nu ^{2}}}={\frac {32(c+1)}{3c(c+2)}}+8(c+1)-4(c+1)^{2}\ln {\frac {c+2}{c}}.}$

Решение описывает струю жидкости, быстро удаляющуюся от источника и увлекающую медленно движущуюся жидкость за пределы струи. Край струи можно определить как место, где линии тока находятся на минимальном расстоянии от оси, т. Е. Край определяется как

${\displaystyle \theta _{o}=\cos ^{-1}\left({\frac {1}{1+c}}\right).}$

Следовательно, сила может быть выражена альтернативно, используя этот полуугол конической границы струи:

${\displaystyle {\frac {F}{2\pi \rho \nu ^{2}}}={\frac {32}{3}}{\frac {\cos \theta _{o}}{\sin ^{2}\theta _{o}}}+{\frac {4}{\cos \theta _{o}}}\ln {\frac {1-\cos \theta _{o}}{1+\cos \theta _{o}}}+{\frac {8}{\cos \theta _{o}}}.}$

Когда сила становится большой, полуугол струи становится малым, и в этом случае

${\displaystyle {\frac {F}{2\pi \rho \nu ^{2}}}\sim {\frac {32}{3\theta _{o}^{2}}}\ll 1}$

и раствор внутри и снаружи струи становится

${\displaystyle {\begin{aligned}f(\theta )&\sim {\frac {4\theta ^{2}}{\theta ^{2}+\theta _{o}^{2}}},\quad \theta <\theta _{o},\\f(\theta )&\sim 2(1+\cos \theta ),\quad \theta >\theta _{o}.\end{aligned}}}$

Струя в этом предельном случае называется Струя Schlichting. С другой стороны, когда сила мала,

${\displaystyle {\frac {F}{2\pi \rho \nu ^{2}}}\sim {\frac {8}{c}}\gg 1}$

полуугол приближается к 90 градусам (нет внутренней и внешней области, вся область рассматривается как одна область), само решение идет к

${\displaystyle f(\theta )\sim {\frac {2}{c}}\sin ^{2}\theta .}$

Смотрите также

• Струя Schlichting
• Поток Шнайдера

Рекомендации

1. Ландау, Л. Д. (1944). Новое точное решение уравнений Навье-Стокса. В Докладах Академии Наук СССР (т. 44, с. 311-314).
2. Тер Хаар, Дирк, изд. Сборник статей Л. Д. Ландау. Эльзевир, 2013.
3. Сквайр, Х. Б. (1951). Круглая ламинарная струя. Ежеквартальный журнал механики и прикладной математики, 4(3), 321-329.
4. Слезкин Н. А. "О точном решении уравнений вязкого течения, Уч. Зап." (1934): 89-90.
5. Яцеев, В. И. (1950). Об одном классе точных решений уравнений движения вязкой жидкости. Журнал технической физики, 20 (11), 1031-1034.
6. Седов, Л. И. (1993). Методы подобия и размерности в механике. CRC Press.
7. Бэтчелор, Г. К. (2000). Введение в гидродинамику. Пресса Кембриджского университета.