Поток Шнайдера - Schneider flow - Wikipedia

Поток Шнайдера представляет собой осесимметричный поток, создаваемый ламинарной или турбулентной струей (с большой струей Число Рейнольдса или ламинарным шлейфом (с большим шлейфом Число Грасгофа ), в котором жидкая область ограничена стенкой. Решение является точным решением Уравнения Навье-Стокса, обнаруженный Вильгельмом Шнайдером в 1981 г.^[1]. Решение было открыто также А.А. Голубинским и В.В. Сычевым в 1979 г.^[2][3] однако никогда не применялся к потокам, увлекаемым струями. Решение является расширением решения Тейлора для потенциального потока.^[4] произвольно Число Рейнольдса.

Математическое описание

Для ламинарных или турбулентных струй, а также для ламинарных струй объемная скорость развлечения на единицу осевой длины постоянна, что можно увидеть из решения Струя Schlichting и Йих шлейф. Таким образом, струю или шлейф можно рассматривать как сток звена, как это было впервые сделано Г. И. Тейлор и эта раковина будет выводить жидкость за пределы струи или факела. До Шнайдера предполагалось, что это внешнее движение жидкости также является потоком с большим числом Рейнольдса, следовательно, внешнее движение жидкости предполагается решением потенциального потока, которое было решено с помощью Г. И. Тейлор в 1958 г. Для турбулентного шлейфа унос непостоянен, тем не менее, внешний флюид все еще регулируется решением Тейлорса.

Хотя решение Тейлора по-прежнему верно для турбулентной струи, для ламинарной струи или ламинарного факела, эффективное число Рейнольдса для внешней жидкости оказывается порядка единицы, поскольку в этих случаях сток так развлекает, что поток не является невязким. В этом случае необходимо решить полные уравнения Навье-Стокса для внешнего движения жидкости, и в то же время, поскольку жидкость ограничена снизу твердой стенкой, решение должно удовлетворять условию противоскольжения. Шнайдер получил автомодельное решение для этого внешнего движения жидкости, которое, естественно, сводилось к решению потенциального потока Тейлора по мере увеличения скорости уноса стоком линии.

Предположим, что коническая стенка из полуугла ${\displaystyle \alpha }$ с полярной осью вдоль оси конуса и предположим, что вершина твердого конуса находится в начале сферических координат ${\displaystyle (r,\theta ,\phi )}$ вдоль отрицательной оси. Теперь поместите линейный сток вдоль положительной стороны полярной оси. Установите этот путь, ${\displaystyle \alpha =\pi /2}$ представляет собой обычный случай плоской стенки с струей или шлейфом, выходящим из источника. Дело ${\displaystyle \alpha =\pi }$ соответствует струе / шлейфу, выходящему из тонкой форсунки. Течение осесимметричное с нулевым азимутальным движением, т.е. компоненты скорости равны ${\displaystyle (v_{r},v_{\theta },0)}$. Обычный метод изучения потока - введение Функция потока Стокса ${\displaystyle \psi }$ такой, что

${\displaystyle v_{r}={\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}{\frac {\partial \psi }{\partial \theta }},\quad v_{\theta }=-{\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial \psi }{\partial r}}.}$

Представляем ${\displaystyle \xi =\cos \theta }$ как замена ${\displaystyle \theta }$ и вводя автомодельную форму ${\displaystyle \psi =K\nu rf(\xi )}$ в осесимметричные уравнения Навье-Стокса, получаем^[5]

${\displaystyle K^{-1}[(1-\xi ^{2})f''''-4\xi f''']-ff'''-3f'f''=0.}$

где постоянная ${\displaystyle K}$ такова, что объемная скорость уноса на единицу осевой длины равна ${\displaystyle 2\pi K\nu }$. Для ламинарной струи ${\displaystyle K=4}$ а для ламинарного шлейфа это зависит от Число Прандтля ${\displaystyle Pr}$, например с ${\displaystyle Pr=1}$, у нас есть ${\displaystyle K=6}$ и с ${\displaystyle Pr=2}$, у нас есть ${\displaystyle K=4}$. Для турбулентной струи эта константа является порядком числа Рейнольдса струи, которое является большим числом.

Вышеприведенное уравнение легко сводится к Уравнение Риккати путем трехкратного интегрирования, процедура такая же, как в Джет Ландау – Сквайра (главное отличие струи Ландау-Сквайра от текущей задачи - это граничные условия). Граничные условия на конической стенке ${\displaystyle \xi =\xi _{w}=\cos \alpha }$ становиться

${\displaystyle f(\xi _{w})=f'(\xi _{w})=0}$

и вдоль линии раковина ${\displaystyle \xi =1}$, у нас есть

${\displaystyle f(1)=1,\quad \lim _{\xi \rightarrow 1}(1-\xi )^{1/2}f''\rightarrow 0.}$

Отсюда проблема решена численно.

Потенциальный поток Тейлора

Для турбулентной струи, ${\displaystyle K\gg 1}$, линейными членами в уравнении можно пренебречь везде, кроме небольшого пограничного слоя вдоль стенки. Тогда, пренебрегая условиями противоскольжения на стене, решение дается выражением

${\displaystyle f={\frac {\xi -\xi _{w}}{1-\xi _{w}}}.}$

Прочие соображения

Точное решение решений Навье-Стокса было экспериментально проверено Заунером в 1985 г.^[6]. Дальнейший анализ^[7][8] показали, что осевой поток импульса медленно спадает вдоль оси в отличие от Струя Schlichting решение, и обнаружено, что поток Шнайдера становится недействительным, когда расстояние от начала координат увеличивается до расстояния порядка экспоненты квадрата числа Рейнольдса струи, таким образом, область применимости решения Шнайдера увеличивается с увеличением числа Рейнольдса струи.

Наличие завихрения

Наличие закрученного движения, т.е. ${\displaystyle v_{\phi }\neq 0}$ показано, что не влияет на осевое движение, определяемое ${\displaystyle \psi =K\nu rf(\xi )}$ при условии ${\displaystyle K\sim O(1)}$. Если ${\displaystyle K}$ очень большой, наличие завихрения полностью меняет движение в осевой плоскости. За ${\displaystyle K\sim O(1)}$, азимутальное решение может быть решено в терминах циркуляции ${\displaystyle 2\pi \Gamma }$, куда ${\displaystyle \Gamma =r\sin \theta v_{\phi }}$. Решение можно описать в терминах автомодельное решение второго рода, ${\displaystyle \Gamma =Ar^{\lambda }\Lambda (\xi )}$, куда ${\displaystyle A}$ неизвестная константа и ${\displaystyle \lambda }$ - собственное значение. Функция ${\displaystyle \Lambda (\xi )}$ удовлетворяет

${\displaystyle K^{-1}[(1-\xi ^{2})\Lambda ''+\lambda (\lambda -1)\Lambda ]-f\Lambda '+\lambda f'\Lambda =0}$

при граничных условиях ${\displaystyle \Lambda (\xi _{w})=0}$ и ${\displaystyle (1-\xi )^{1/2}\Lambda '\rightarrow 0}$ в качестве ${\displaystyle \xi \rightarrow 1}$.

Смотрите также

• Джет Ландау – Сквайра
• Струя Schlichting

Рекомендации

1. Шнайдер, В. (1981). Течение, вызванное струями и шлейфами. Журнал гидромеханики, 108, 55–65.
2. Голубинский А. А., Сычев В. В. Аналогичное решение уравнений Навье – Стокса // Учен. Зап. ЦАГИ 7 (1976) 11–17.
3. Раджаманикам, П., и Вайс, А. Д. (2020). Замечание о вязком течении, индуцированном полупрямыми источниками, ограниченными коническими поверхностями. Ежеквартальный журнал механики и прикладной математики, 73 (1), 24-35.
4. Тейлор, Г. (1958). Обтекание струями. Журнал аэрокосмических наук, 25 (7), 464–465.
5. Коенен, В., Раджаманикам, П., Вайс, А. Д., Санчес, А. Л., и Уильямс, Ф. А. (2019). Закрученный поток, создаваемый струями и факелами. Acta Mechanica, 230 (6), 2221-2231.
6. Заунер, Э. (1985). Визуализация вязкого течения, вызванного круглой струей. Журнал гидромеханики, 154, 111–119.
7. Мицотакис К., Шнайдер В. и Заунер Э. (1984). Пограничная теория ламинарных струйных течений второго порядка. Acta Mechanica, 53 (1-2), 115–123.
8. Шнайдер, В. (1985). Затухание потока количества движения в затопленных струях. Журнал гидромеханики, 154, 91–110.