Функция потока Стокса - Stokes stream function

Для двумерных потоков см. Функция потока.

Обтекает вокруг сфера в осесимметричный Стокса поток. В предельная скорость то сила сопротивления F_d уравновешивает силу F_грамм продвижение объекта.

В динамика жидкостей, то Функция потока Стокса используется для описания рационализирует и скорость потока в трехмерном несжимаемый поток с осесимметрия. Поверхность с постоянным значением функции тока Стокса охватывает струйная трубка, повсюду касательный векторам скорости потока. Далее объем поток внутри этой трубки тока постоянна, и все линии тока потока расположены на этой поверхности. В поле скорости связанный с функцией потока Стокса, соленоидный - у него ноль расхождение. Эта функция потока названа в честь Джордж Габриэль Стоукс.

Цилиндрические координаты

Точка с цилиндрическими координатами.

Рассмотрим цилиндрическая система координат ( ρ , φ , z ), с z- ось осесимметричного течения несжимаемой жидкости, φ то азимутальный угол и ρ расстояние до z-ось. Тогда компоненты скорости потока ты_ρ и ты_z можно выразить через функцию тока Стокса ${\displaystyle \Psi }$ к:^[1]

${\displaystyle {\begin{aligned}u_{\rho }&=-{\frac {1}{\rho }}\,{\frac {\partial \Psi }{\partial z}},\\u_{z}&=+{\frac {1}{\rho }}\,{\frac {\partial \Psi }{\partial \rho }}.\end{aligned}}}$

Азимутальная составляющая скорости ты_φ не зависит от функции потока. Вследствие осесимметрии все три составляющие скорости (ты_ρ , ты_φ , ты_z ) зависит только от ρ и z а не по азимуту φ.

Объемный поток через поверхность, ограниченный постоянным значением ψ функции тока Стокса, равно 2π ψ.

Сферические координаты

Точка, построенная в сферической системе координат

В сферические координаты ( р , θ , φ ), р это радиальное расстояние от источник, θ это зенитный угол и φ это азимутальный угол. В осесимметричном потоке с θ = 0 ось симметрии вращения, величины, описывающие течение, снова не зависят от азимута φ. Составляющие скорости потока ты_р и ты_θ связаны с функцией тока Стокса ${\displaystyle \Psi }$ через:^[2]

${\displaystyle {\begin{aligned}u_{r}&=+{\frac {1}{r^{2}\,\sin \theta }}\,{\frac {\partial \Psi }{\partial \theta }},\\u_{\theta }&=-{\frac {1}{r\,\sin \theta }}\,{\frac {\partial \Psi }{\partial r}}.\end{aligned}}}$

Опять же, азимутальная составляющая скорости ты_φ не является функцией функции тока Стокса ψ. Объемный поток через струйную трубку, ограниченную поверхностью постоянного ψ, равно 2π ψ, как прежде.

Завихренность

Смотрите также: Stream_function § Завихренность

В завихренность определяется как:

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}=\nabla \times {\boldsymbol {u}}=\nabla \times \nabla \times {\boldsymbol {\psi }}}$, куда ${\displaystyle {\boldsymbol {\psi }}=-{\frac {\Psi }{r\sin \theta }}{\boldsymbol {\hat {\phi }}},}$

с ${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\phi }}}}$ то единичный вектор в ${\displaystyle \phi \,}$-направление.

Вывод завихренности ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$ с использованием функции потока Стокса

Рассмотрим завихренность, как определено ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}=\nabla \times {\boldsymbol {u}}.}$ Из определения локон в сферических координатах: ${\displaystyle {\begin{aligned}\omega _{r}&={1 \over r\sin \theta }\left({\partial \over \partial \theta }\left(u_{\phi }\sin \theta \right)-{\partial u_{\theta } \over \partial \phi }\right){\boldsymbol {\hat {r}}},\\\omega _{\theta }&={1 \over r}\left({1 \over \sin \theta }{\partial u_{r} \over \partial \phi }-{\partial \over \partial r}\left(ru_{\phi }\right)\right){\boldsymbol {\hat {\theta }}},\\\omega _{\phi }&={1 \over r}\left({\partial \over \partial r}\left(ru_{\theta }\right)-{\partial u_{r} \over \partial \theta }\right){\boldsymbol {\hat {\phi }}}.\end{aligned}}}$ Сначала обратите внимание, что ${\displaystyle r}$ и ${\displaystyle \theta }$ компоненты равны 0. Во-вторых, заменить ${\displaystyle u_{r}}$ и ${\displaystyle u_{\theta }}$ в ${\displaystyle \omega _{\phi }.}$ Результат: ${\displaystyle {\begin{aligned}\omega _{r}&=0,\\\omega _{\theta }&=0,\\\omega _{\phi }&={1 \over r}\left({\partial \over \partial r}\left(r\left(-{\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial \Psi }{\partial r}}\right)\right)-{\partial \over \partial \theta }\left({\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}{\frac {\partial \Psi }{\partial \theta }}\right)\right).\end{aligned}}}$ Далее выполняется следующая алгебра: ${\displaystyle {\begin{aligned}\omega _{\phi }&={1 \over r}\left(-{\frac {1}{\sin \theta }}\left({\partial \over \partial r}\left({\frac {\partial \Psi }{\partial r}}\right)\right)-{\frac {1}{r^{2}}}{\partial \over \partial \theta }\left({\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial \Psi }{\partial \theta }}\right)\right)\\&={1 \over r}\left(-{\frac {1}{\sin \theta }}\left({\frac {\partial ^{2}\Psi }{\partial r^{2}}}\right)-{\frac {\sin \theta }{r^{2}\sin \theta }}{\partial \over \partial \theta }\left({\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial \Psi }{\partial \theta }}\right)\right)\\&=-{\frac {1}{r\sin \theta }}\left({\frac {\partial ^{2}\Psi }{\partial r^{2}}}+{\frac {\sin \theta }{r^{2}}}{\partial \over \partial \theta }\left({\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial \Psi }{\partial \theta }}\right)\right).\end{aligned}}}$

В результате из расчета вектор завихренности оказывается равным:

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}={\begin{pmatrix}0\\[1ex]0\\[1ex]\displaystyle -{\frac {1}{r\sin \theta }}\left({\frac {\partial ^{2}\Psi }{\partial r^{2}}}+{\frac {\sin \theta }{r^{2}}}{\partial \over \partial \theta }\left({\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial \Psi }{\partial \theta }}\right)\right)\end{pmatrix}}.}$

Сравнение с цилиндрическим

Цилиндрическая и сферическая системы координат связаны через

${\displaystyle z=r\,\cos \theta \,}$   и   ${\displaystyle \rho =r\,\sin \theta .\,}$

Альтернативное определение с обратным знаком

Как объяснено в общем функция потока В статье также используются определения с использованием противоположных знаков - для связи между функцией тока Стокса и скоростью потока.^[3]

Нулевое расхождение

В цилиндрических координатах расхождение поля скорости ты становится:^[4]

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot {\boldsymbol {u}}&={\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial }{\partial \rho }}{\Bigl (}\rho \,u_{\rho }{\Bigr )}+{\frac {\partial u_{z}}{\partial z}}\\&={\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial }{\partial \rho }}\left(-{\frac {\partial \Psi }{\partial z}}\right)+{\frac {\partial }{\partial z}}\left({\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial \Psi }{\partial \rho }}\right)=0,\end{aligned}}}$

как и ожидалось для несжимаемого потока.

И в сферических координатах:^[5]

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot {\boldsymbol {u}}&={\frac {1}{r\,\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}(u_{\theta }\,\sin \theta )+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}{\Bigl (}r^{2}\,u_{r}{\Bigr )}\\&={\frac {1}{r\,\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(-{\frac {1}{r}}{\frac {\partial \Psi }{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left({\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial \Psi }{\partial \theta }}\right)=0.\end{aligned}}}$

Линии тока как кривые постоянной функции тока

Из расчетов известно, что градиент вектор ${\displaystyle \nabla \Psi }$ нормально к кривой ${\displaystyle \Psi =C}$ (см., например, Набор уровней # Наборы уровней в зависимости от градиента ). Если будет показано, что везде ${\displaystyle {\boldsymbol {u}}\cdot \nabla \Psi =0,}$ используя формулу для ${\displaystyle {\boldsymbol {u}}}$ с точки зрения ${\displaystyle \Psi ,}$ то это доказывает, что кривые уровня ${\displaystyle \Psi }$ являются обтекаемыми формами.

Цилиндрические координаты

В цилиндрических координатах

${\displaystyle \nabla \Psi ={\partial \Psi \over \partial \rho }{\boldsymbol {e}}_{\rho }+{\partial \Psi \over \partial z}{\boldsymbol {e}}_{z}}$.

и

${\displaystyle {\boldsymbol {u}}=u_{\rho }{\boldsymbol {e}}_{\rho }+u_{z}{\boldsymbol {e}}_{z}=-{1 \over \rho }{\partial \Psi \over \partial z}{\boldsymbol {e}}_{\rho }+{1 \over \rho }{\partial \Psi \over \partial \rho }{\boldsymbol {e}}_{z}.}$

Так что

${\displaystyle \nabla \Psi \cdot {\boldsymbol {u}}={\partial \Psi \over \partial \rho }(-{1 \over \rho }{\partial \Psi \over \partial z})+{\partial \Psi \over \partial z}{1 \over \rho }{\partial \Psi \over \partial \rho }=0.}$

Сферические координаты

И в сферических координатах

${\displaystyle \nabla \Psi ={\partial \Psi \over \partial r}{\boldsymbol {e}}_{r}+{1 \over r}{\partial \Psi \over \partial \theta }{\boldsymbol {e}}_{\theta }}$

и

${\displaystyle {\boldsymbol {u}}=u_{r}{\boldsymbol {e}}_{r}+u_{\theta }{\boldsymbol {e}}_{\theta }={1 \over r^{2}\sin \theta }{\partial \Psi \over \partial \theta }{\boldsymbol {e}}_{r}-{1 \over r\sin \theta }{\partial \Psi \over \partial r}{\boldsymbol {e}}_{\theta }.}$

Так что

${\displaystyle \nabla \Psi \cdot {\boldsymbol {u}}={\partial \Psi \over \partial r}\cdot {1 \over r^{2}\sin \theta }{\partial \Psi \over \partial \theta }+{1 \over r}{\partial \Psi \over \partial \theta }\cdot {\Big (}-{1 \over r\sin \theta }{\partial \Psi \over \partial r}{\Big )}=0.}$

Примечания

1. Бэтчелор (1967), стр. 78.
2. Бэтчелор (1967), стр. 79.
3. Например. Бреннер, Ховард (1961). «Медленное движение шара через вязкую жидкость к плоской поверхности». Химическая инженерия. 16 (3–4): 242–251. Дои:10.1016/0009-2509(61)80035-3.
4. Бэтчелор (1967), стр. 602.
5. Бэтчелор (1967), стр. 601.

Рекомендации

• Бэтчелор, Г. (1967). Введение в динамику жидкости. Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-66396-2.
• Лэмб, Х. (1994). Гидродинамика (6-е изд.). Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-45868-9. Первоначально опубликованное в 1879 году, 6-е расширенное издание впервые появилось в 1932 году.
• Стокса, Г. (1842 г.). «Об установившемся движении несжимаемой жидкости». Труды Кембриджского философского общества. 7: 439–453. Bibcode:1848TCaPS ... 7..439S.
  Печатается на: Стокса, Г. (1880 г.). Математические и физические документы, том I. Издательство Кембриджского университета. стр.1 –16.