Бикогерентность - Bicoherence

В математика и статистический анализ, бикогерентность (также известен как биспектральная когерентность) является квадратичной нормализованной версией биспектр. Бикогерентность принимает значения, ограниченные от 0 до 1, что делает ее удобной мерой для количественной оценки степени фазовая связь в сигнале. Префикс би- в биспектр и бикогерентность относится не к двум временным рядам Икс_т, у_т а скорее к двум частотам одного сигнала.

В биспектр - статистика, используемая для поиска нелинейных взаимодействий. В преобразование Фурье второго порядка кумулянт, т.е. автокорреляция функция, традиционная спектр мощности. Преобразование Фурье C₃(т₁, т₂) (третьего порядка кумулянт ) называется биспектром или биспектральная плотность. Они попадают в категорию Спектры высшего порядка, или же Полиспектра и предоставить дополнительную информацию о спектре мощности. Полиспектр третьего порядка (биспектр) является самым простым для вычисления и, следовательно, наиболее популярным.

Разница с измерением согласованность (анализ когерентности - это широко используемый метод для изучения корреляций в частотной области между двумя одновременно измеряемыми сигналами) - это необходимость как для входных, так и для выходных измерений путем оценки двух автоспектров и одного перекрестного спектра. С другой стороны, бикогерентность - это автоматическая величина, то есть она может быть вычислена из одного сигнала. Функция когерентности обеспечивает количественную оценку отклонений от линейности в системе, которая находится между входными и выходными измерительными датчиками. Бикогерентность измеряет долю энергии сигнала на любой двухчастотной частоте, которая квадратично связана по фазе. Обычно он нормируется в диапазоне, аналогичном коэффициенту корреляции и классической (второго порядка) когерентности. Он также использовался для оценки глубины анастезии и широко в физике плазмы (нелинейный перенос энергии), а также для обнаружения гравитационных волн.

Биспектр и бикогерентность могут быть применены к случаю нелинейных взаимодействий непрерывного спектра распространяющихся волн в одном измерении. ^[1]

Измерения бикогерентности проводились для ЭЭГ сигналы мониторинг в спать, бодрствование и припадки.^{[нужна цитата ]}

Определение

Биспектр определяется как тройное произведение

{ Displaystyle B (f_ {1}, f_ {2}) = F (f_ {1}) F (f_ {2}) F ^ {*} (f_ {1} + f_ {2})}

куда ${ displaystyle B}$ биспектр оценивается на частотах ${ displaystyle f_ {1}}$ и ${ displaystyle f_ {2}}$ , ${ displaystyle F}$ - преобразование Фурье сигнала, а ${ displaystyle ^ {*}}$ обозначает комплексно сопряженное. Преобразование Фурье - это комплексная величина, как и биспектр. При комплексном умножении величина биспектра равна произведению величин каждой из частотных составляющих, а фаза биспектра представляет собой сумму фаз каждой из частотных составляющих.

Предположим, что три компоненты Фурье ${ displaystyle F (f_ {1})}$ , ${ displaystyle F (f_ {2})}$ и ${ Displaystyle F (f_ {1} + f_ {2})}$ были идеально синхронизированы по фазе. Тогда, если преобразование Фурье вычислялось несколько раз из разных частей временного ряда, биспектр всегда будет иметь одно и то же значение. Если мы сложим все биспектры, они будут суммированы без отмены. С другой стороны, предположим, что фазы каждой из этих частот были случайными. Тогда биспектр будет иметь такую же величину (при условии, что величина частотных составляющих одинакова), но фаза будет ориентирована случайным образом. Сложение всех биспектров приведет к аннулированию из-за случайной фазовой ориентации, и поэтому сумма биспектров будет иметь небольшую величину. Обнаружение фазовой связи требует суммирования по ряду независимых выборок - это первая мотивация для определения бикогерентности. Во-вторых, биспектр не нормируется, потому что он по-прежнему зависит от величин каждой из частотных составляющих. Бикогерентность включает нормировочный коэффициент, который устраняет зависимость от величины.

Есть некоторая несогласованность с определением константы нормализации бикогерентности. Некоторые из использованных определений:

{ displaystyle b (f_ {1}, f_ {2}) = { frac { left | sum limits _ {n} F_ {n} (f_ {1}) F_ {n} (f_ {2} ) F_ {n} ^ {*} (f_ {1} + f_ {2}) right |} { sqrt { sum limits _ {n} | F_ {n} (f_ {1}) | ^ { 2} | F_ {n} (f_ {2}) | ^ {2} | F_ {n} ^ {*} (f_ {1} + f_ {2}) | ^ {2}}}}}

который был предоставлен в Sigl and Chamoun 1994, но, похоже, неправильно нормализован. В качестве альтернативы физика плазмы обычно использует

{ displaystyle b ^ {2} (f_ {1}, f_ {2}) = { frac {| langle F_ {n} (f_ {1}) F_ {n} (f_ {2}) F_ {n } ^ {*} (f_ {1} + f_ {2}) rangle | ^ {2}} { langle | F_ {n} (f_ {1}) F_ {n} (f_ {2}) | ^ {2} rangle langle | F_ {n} ^ {*} (f_ {1} + f_ {2}) | ^ {2} rangle}}}

где угловые скобки означают усреднение. Обратите внимание, что это то же самое, что и использование суммы, потому что ${ displaystyle n}$ одинаковы в числителе и знаменателе. Это определение взято непосредственно из Nagashima 2006, а также упоминается в He 2009 и Maccarone 2005.

Наконец, одно из наиболее интуитивно понятных определений взято из Hagihira 2001 и Hayashi 2007, т.е.

{ displaystyle b (f_ {1}, f_ {2}) = { frac { left | sum limits _ {n} F_ {n} (f_ {1}) F_ {n} (f_ {2} ) F_ {n} ^ {*} (f_ {1} + f_ {2}) right |} { sum limits _ {n} | F_ {n} (f_ {1}) F_ {n} (f_ {2}) F_ {n} ^ {*} (f_ {1} + f_ {2}) |}}}

В числителе указывается величина биспектра, просуммированная по всем сегментам временного ряда. Эта величина велика при наличии связи фаз и приближается к 0 в пределе случайных фаз. Знаменатель, который нормализует биспектр, дается путем вычисления биспектра после установки всех фаз на 0. Это соответствует случаю, когда существует идеальная фазовая связь, потому что все образцы имеют нулевую фазу. Следовательно, бикогерентность имеет значение от 0 (случайные фазы) до 1 (общая фазовая связь).

Смотрите также

Когерентность (обработка сигналов)

Рекомендации

^ [1]

Хагихира, С., Такашина, М., Мори, Т., Машимо, Т., и Йошия, И. (2001). Практические вопросы биспектрального анализа электроэнцефалографических сигналов. Анестезия и обезболивание, 93 (4), 966-970. Извлекаются из http://www.anesthesia-analgesia.org/content/93/4/966.abstract
Хаяси, К., Цуда, Н., Сава, Т., и Хагихира, С. (2007). Кетамин увеличивает частоту пика электроэнцефалографической бикогерентности в области альфа-веретена, индуцированного пропофолом. Британский журнал анестезии, 99 (3), 389-95. DOI: 10.1093 / bja / aem175
Нагасима, Ю., Ито, К., Ито, С.-И., Хосино, К., Фудзисава, А., Эджири, А., Такасе, Ю., и др. (2006). Наблюдение когерентной бикогерентности и двухфазности в потенциальных колебаниях около частоты геодезической акустической моды на JFT-2M. Физика плазмы и управляемый синтез, 48 (5A), A377-A386. DOI: 10.1088 / 0741-3335 / 48 / 5A / S38
Он, Х. (2009). Каноническая бикогерентность - Часть I: определение, многосторонняя оценка и статистика. Обработка сигналов, транзакции IEEE, 57 (4), 1273-1284. Извлекаются из http://ieeexplore.ieee.org/xpls/abs_all.jsp?arnumber=4749274
Маккарон, Т. Дж., И Шнитман, Дж. Д. (2004). Бикогерентность как диагностика моделей высокочастотных квазипериодических колебаний. Ежемесячные уведомления Королевского астрономического общества, 357 (1), 12-16. DOI: 10.1111 / j.1365-2966.2004.08615.x
Mendel JM. «Учебное пособие по статистике высшего порядка (спектрам) в обработке сигналов и теории систем: теоретические результаты и некоторые приложения». Труды IEEE, 79, 3, 278-305
M J Hinich, "Проверка на гауссовость и линейность стационарного временного ряда", Журнал анализа временных рядов 3(3), 1982, стр. 169–176.
HOSA - Набор инструментов для спектрального анализа высшего порядка. (условно-бесплатная для персональных компьютеров типа Microsoft Windows.)
Сигл, Дж.К. и Н.Г. Шамун. 1994. Введение в биспектральный анализ электроэнцефалограммы. Журнал клинического мониторинга 10: 392-404.
T.H. Баллок, Дж. З. Ахимович и другие., "Бикогерентность внутричерепной ЭЭГ при бодрствовании, сне и судорогах", Журнал клинической нейрофизиологии и ЭЭГ, 1997, том 231, стр. 130–142.
J.L. Shils, M. Litt, B.E. Сколник, М. Stecker, "Биспектральный анализ визуальных взаимодействий у людей", Электроэнцефалография и клиническая нейрофизиология, 1996; 98: 113-125.

[1] [1]

[1]