Битопологическое пространство - Bitopological space

В математика, а битопологическое пространство это набор наделены два топологии. Обычно, если набор ${displaystyle X}$ и топологии ${displaystyle sigma }$ и ${displaystyle au }$ то битопологическое пространство называется ${displaystyle (X,sigma , au )}$. Это понятие было введено Дж. К. Келли при изучении квазиметрика, т.е. функции расстояния, которые не должны быть симметричными.

Непрерывность

А карта ${displaystyle scriptstyle f:X o X'}$ из битопологического пространства ${displaystyle scriptstyle (X, au _{1}, au _{2})}$ в другое битопологическое пространство ${displaystyle scriptstyle (X', au _{1}', au _{2}')}$ называется непрерывный или иногда попарно непрерывный если ${displaystyle scriptstyle f}$ является непрерывный как карта из ${displaystyle scriptstyle (X, au _{1})}$ к ${displaystyle scriptstyle (X', au _{1}')}$ и как карта из ${displaystyle scriptstyle (X, au _{2})}$ к ${displaystyle scriptstyle (X', au _{2}')}$.

Битопологические варианты топологических свойств

В соответствии с хорошо известными свойствами топологических пространств существуют версии для битопологических пространств.

• Битопологическое пространство ${displaystyle scriptstyle (X, au _{1}, au _{2})}$ является попарно компактный если каждая крышка ${displaystyle scriptstyle {U_{i}mid iin I}}$ из ${displaystyle scriptstyle X}$ с ${displaystyle scriptstyle U_{i}in au _{1}cup au _{2}}$, содержит конечное подпокрытие. В этом случае, ${displaystyle scriptstyle {U_{i}mid iin I}}$ должен содержать хотя бы один член из ${displaystyle au _{1}}$ и хотя бы один член из ${displaystyle au _{2}}$
• Битопологическое пространство ${displaystyle scriptstyle (X, au _{1}, au _{2})}$ является попарно Хаусдорф если для любых двух различных точек ${displaystyle scriptstyle x,yin X}$ существуют непересекающиеся ${displaystyle scriptstyle U_{1}in au _{1}}$ и ${displaystyle scriptstyle U_{2}in au _{2}}$ с ${displaystyle scriptstyle xin U_{1}}$ и ${displaystyle scriptstyle yin U_{2}}$.
• Битопологическое пространство ${displaystyle scriptstyle (X, au _{1}, au _{2})}$ является попарно нульмерный если открывается в ${displaystyle scriptstyle (X, au _{1})}$ которые закрыты в ${displaystyle scriptstyle (X, au _{2})}$ сформировать основу для ${displaystyle scriptstyle (X, au _{1})}$, и открывается в ${displaystyle scriptstyle (X, au _{2})}$ которые закрыты в ${displaystyle scriptstyle (X, au _{1})}$ сформировать основу для ${displaystyle scriptstyle (X, au _{2})}$.
• Битопологическое пространство ${displaystyle scriptstyle (X,sigma , au )}$ называется бинормальный если для каждого ${displaystyle scriptstyle F_{sigma }}$ ${displaystyle scriptstyle sigma }$-закрыто и ${displaystyle scriptstyle F_{ au }}$ ${displaystyle scriptstyle au }$-закрытые наборы есть ${displaystyle scriptstyle G_{sigma }}$ ${displaystyle scriptstyle sigma }$-открыть и ${displaystyle scriptstyle G_{ au }}$ ${displaystyle scriptstyle au }$-открытые множества такие, что ${displaystyle scriptstyle F_{sigma }subseteq G_{ au }}$ ${displaystyle scriptstyle F_{ au }subseteq G_{sigma }}$, и ${displaystyle scriptstyle G_{sigma }cap G_{ au }=emptyset .}$

Примечания

Рекомендации

• Келли, Дж. К. (1963). Битопологические пространства. Proc. Лондонская математика. Soc., 13(3) 71—89.
• Рейли, И. Л. (1972). О свойствах битопологического разделения. Nanta Math., (2) 14—25.
• Рейли, И. Л. (1973). Нульмерные битопологические пространства. Indag. Математика., (35) 127–131.
• Салбани, С. (1974). Битопологические пространства, компактификации и пополнения. Департамент математики Кейптаунского университета, Кейптаун.
• Копперман Р. (1995). Асимметрия и двойственность в топологии. Топология Appl., 66(1) 1--39.
• Флетчер. П., Хойл Х. III и Пэтти С.В. (1969). Сравнение топологий. Duke Math. Дж.,36(2) 325–331.
• Дочвири И., Нури Т. (2015). О некоторых свойствах стабильных битопологических пространств. Тополь. Proc., 45 111--119.