Формула Бохнера - Bochners formula - Wikipedia

В математика, Формула Бохнера заявление, касающееся гармонические функции на Риманово многообразие ${\displaystyle (M,g)}$ к Кривизна Риччи. Формула названа в честь Американец математик Саломон Бохнер.

Официальное заявление

Если ${\displaystyle u\colon M\rightarrow \mathbb {R} }$ - гладкая функция, то

${\displaystyle \Delta {\bigg (}{\frac {|\nabla u|^{2}}{2}}{\bigg )}=\langle \nabla \Delta u,\nabla u\rangle +|\nabla ^{2}u|^{2}+{\mbox{Ric}}(\nabla u,\nabla u)}$,

куда ${\displaystyle \nabla u}$ это градиент из ${\displaystyle u}$ относительно ${\displaystyle g}$ и ${\displaystyle {\mbox{Ric}}}$ это Тензор кривизны Риччи.^[1] Если ${\displaystyle u}$ является гармоническим (т. е. ${\displaystyle \Delta u=0}$, куда ${\displaystyle \Delta =\Delta _{g}}$ это Лапласиан по метрике ${\displaystyle g}$) Формула Бохнера принимает вид

${\displaystyle \Delta {\frac {1}{2}}|\nabla u|^{2}=|\nabla ^{2}u|^{2}+{\mbox{Ric}}(\nabla u,\nabla u)}$.

Бохнер использовал эту формулу для доказательства Теорема об исчезновении Бохнера.

Как следствие, если ${\displaystyle (M,g)}$ - риманово многообразие без края и ${\displaystyle u\colon M\rightarrow \mathbb {R} }$ - гладкая функция с компактным носителем, то

${\displaystyle \int _{M}(\Delta u)^{2}\,d{\mbox{vol}}=\int _{M}{\Big (}|\nabla ^{2}u|^{2}+{\mbox{Ric}}(\nabla u,\nabla u){\Big )}\,d{\mbox{vol}}}$.

Это сразу следует из первого тождества, если учесть, что интеграл от левой части равен нулю (по теорема расходимости ) и интегрируя по частям первое слагаемое в правой части.

Вариации и обобщения

• Личность Бохнера
• Фирменный стиль Weitzenböck

Рекомендации

1. Чоу, Беннетт; Лу, Пэн; Ни, Лей (2006), Поток Риччи Гамильтона, Аспирантура по математике, 77, Провиденс, Род-Айленд: Science Press, Нью-Йорк, стр. 19, ISBN  978-0-8218-4231-7, МИСТЕР  2274812.