Боголюбов внутренний продукт - Bogoliubov inner product

В Боголюбов внутренний продукт (Двухточечная функция Дюамеля, Боголюбов внутренний продукт, Скалярное произведение Боголюбова, Кубо -Мори-Боголюбов внутренний продукт) особый внутренний продукт в пространстве операторы. Внутренний продукт Боголюбова появляется в квантовая статистическая механика^[1][2] и назван в честь физика-теоретика Николай Боголюбов.

Определение

Позволять ${displaystyle A}$ быть самосопряженный оператор. Скалярное произведение Боголюбова любых двух операторов X и Y определяется как

${displaystyle langle X,Yangle _{A}=int limits _{0}^{1}{m {Tr}}[{m {e}}^{xA}X^{dagger }{m {e}}^{(1-x)A}Y]dx}$

Внутренний продукт Боголюбова удовлетворяет всем аксиомам внутреннего продукта: это полуторалинейный, положительно полуопределенный (т. е. ${displaystyle langle X,Xangle _{A}geq 0}$) и удовлетворяет свойству симметрии ${displaystyle langle X,Yangle _{A}=(langle Y,Xangle _{A})^{*}}$ куда ${displaystyle alpha ^{*}}$ является комплексным сопряжением ${displaystyle alpha }$.

В приложениях к квантовая статистическая механика, Оператор ${displaystyle A}$ имеет форму ${displaystyle A=eta H}$, куда ${displaystyle H}$ это Гамильтониан квантовой системы и ${displaystyle eta }$ это обратная температура. В этих обозначениях скалярное произведение Боголюбова принимает вид

${displaystyle langle X,Yangle _{eta H}=int limits _{0}^{1}langle {m {e}}^{xeta H}X^{dagger }{m {e}}^{-xeta H}Yangle dx}$

куда ${displaystyle langle dots angle }$ обозначает термическое среднее по гамильтониану ${displaystyle H}$ и обратная температура ${displaystyle eta }$.

В квантовой статистической механике внутреннее произведение Боголюбова появляется как член второго порядка в разложении статистической суммы:

${displaystyle langle X,Yangle _{eta H}={frac {partial ^{2}}{partial tpartial s}}{m {Tr}},{m {e}}^{eta H+tX+sY}{igg vert }_{t=s=0}}$

Рекомендации

1. Д. Петц и Г. Тот. Внутренний продукт Боголюбова в квантовой статистике, Письма по математической физике 27, 205-216 (1993).
2. Д. П. Санкович. О бозе-конденсации в некоторой модели неидеального бозе-газа, J. Math. Phys. 45, 4288 (2004).