Бонди k-исчисление - Bondi k-calculus

Бонди k-исчисление это метод обучения специальная теория относительности популяризировал профессор сэр Герман Бонди, и теперь распространены на уроках физики в университетах и ​​колледжах.

Полезность k-calculus - это его простота. Его успешно использовали для обучения детей младшего возраста специальной теории относительности, а также в учебниках по теории относительности.^[1][2]

Многие введения в теорию относительности начинаются с концепции скорости и вывода Преобразование Лоренца. Другие концепции, такие как замедление времени, сокращение длины, то относительность одновременности, разрешение парадокс близнецов и релятивистский эффект Доплера затем получаются из преобразования Лоренца как функции скорости.

Бонди в своей книге Относительность и здравый смысл,^[3] впервые опубликовано в 1964 г. и основано на статьях, опубликованных в The Illustrated London News в 1962 году меняет порядок изложения. Он начинает с того, что он называет «фундаментальным соотношением», обозначаемым буквой ${displaystyle k}$ (который оказывается радиальным фактором Доплера).^[4] Отсюда он объясняет парадокс близнецов и относительность одновременности, замедления времени и сокращения длины в терминах ${displaystyle k}$. Лишь позже в изложении он устанавливает связь между скоростью и основным соотношением. ${displaystyle k}$. Преобразование Лоренца появляется в конце книги.

История

В kметод исчисления ранее использовался Э. А. Милн в 1935 г.^[5] Милн использовал письмо ${displaystyle s}$ для обозначения постоянного фактора Доплера, но также рассматривается более общий случай, включающий неинерциальное движение (и, следовательно, изменяющийся фактор Доплера). Бонди использовал письмо ${displaystyle k}$ вместо того ${displaystyle s}$ и упростили представление (для постоянных ${displaystyle k}$ только) и ввел имя "k-исчисление".^[6]

Бонди k-фактор

Диаграмма пространства-времени для определения k-фактор

  Алиса

  Боб

  Вспышка света

Рассмотрим двух инерционных наблюдателей, Алису и Боба, движущихся прямо друг от друга с постоянной относительной скоростью. Алиса каждый раз посылает в сторону Боба вспышку синего света. ${displaystyle T}$ секунд, как измерено ее собственными часами. Поскольку Алиса и Боб разделены расстоянием, существует задержка между Алисой, отправляющей вспышку, и Бобом, получающей вспышку. Кроме того, расстояние разделения постоянно увеличивается с постоянной скоростью, поэтому задержка продолжает увеличиваться. Это означает, что интервал времени между получением Бобом вспышек, измеренный его часами, превышает ${displaystyle T}$ секунд, скажи ${displaystyle kT}$ секунды для некоторой постоянной ${displaystyle k>1}$. (Если бы вместо этого Алиса и Боб двигались прямо навстречу друг другу, был бы применим аналогичный аргумент, но в этом случае ${displaystyle k<1}$.)^[7]

Бонди описывает ${displaystyle k}$ как «фундаментальное соотношение»,^[8] и другие авторы с тех пор называют это "Бонди k-фактор "или" Бонди k-фактор ".^[9]

Вспышки Алисы передаются с частотой ${displaystyle f_{s}=1/T}$ Гц, по ее часам, и полученный Бобом с частотой ${displaystyle f_{o}=1/(kT)}$ Гц, по его часам. Это подразумевает доплеровский фактор ${displaystyle f_{s}/f_{o}=k}$. Так Бонди k-factor - это другое название фактора Доплера (когда Алиса-источник и наблюдатель Боб движутся прямо друг от друга или друг к другу).^[4]

Если бы Алиса и Боб поменялись ролями, и Боб послал бы Алисе вспышки света, принцип относительности (первый постулат Эйнштейна) подразумевает, что k-фактор от Боба к Алисе будет тем же значением, что и k-фактор от Алисы к Бобу, поскольку все инерционные наблюдатели эквивалентны. Так что k-фактор зависит только от относительной скорости между наблюдателями и ничего больше.^[7] 

Взаимный k-фактор

Диаграмма пространства-времени для обратного k-фактор

  Алиса

  Боб

  Дэйв

  Вспышка света

Теперь рассмотрим третьего инерциального наблюдателя Дэйва, который находится на фиксированном расстоянии от Алисы, и такой, что Боб лежит на прямой линии между Алисой и Дэйвом. Поскольку Алиса и Дэйв находятся в состоянии покоя, задержка от Алисы к Дэйву постоянна. Это означает, что Дэйв получает синие вспышки Алисы с частотой один раз за ${displaystyle T}$ секунд, по его часам, с той же скоростью, с которой их посылает Алиса. Другими словами, k-фактор от Алисы до Дэйва равен единице.^[10]

Теперь предположим, что всякий раз, когда Боб получает синюю вспышку от Алисы, он немедленно посылает свою красную вспышку Дэйву, один раз ${displaystyle kT}$ секунд (по часам Боба). Второй постулат Эйнштейна о том, что скорость света не зависит от движения его источника, подразумевает, что синяя вспышка Алисы и красная вспышка Боба движутся с одинаковой скоростью, не догоняя друг друга, и поэтому достигают Дэйва одновременно. Итак, Дэйв получает красную вспышку от Боба каждый ${displaystyle T}$ секунд по часам Дэйва, которые Боб посылал каждые ${displaystyle kT}$ секунд по часам Боба. Это означает, что k-фактор от Боба к Дэйву ${displaystyle 1/k}$.^[7]

Это устанавливает, что k-фактор для наблюдателей, движущихся прямо друг от друга (красное смещение), является обратной величиной k-фактор движения наблюдателей прямо навстречу друг другу с одинаковой скоростью (синее смещение).

Парадокс близнецов

Диаграмма пространства-времени для парадокса близнецов

  Алиса

  Боб

  Кэрол

  Дэйв

  Вспышка света

Теперь рассмотрим четвертого инерционного наблюдателя Кэрол, который движется от Дэйва к Алисе с той же скоростью, что и Боб от Алисы к Дэйву. Путешествие Кэрол рассчитано таким образом, что она покидает Дэйва точно в то же время, что и Боб. Обозначьте время, записанное часами Алисы, Боба и Кэрол, как ${displaystyle t_{A},t_{B},t_{C}}$.

Когда Боб проходит мимо Алисы, они оба синхронизируют свои часы с ${displaystyle t_{A}=t_{B}=0}$. Когда Кэрол проходит мимо Боба, она синхронизирует свои часы с часами Боба, ${displaystyle t_{C}=t_{B}}$. Наконец, когда Кэрол проходит мимо Алисы, они сравнивают свои часы друг с другом. В ньютоновской физике ожидается, что при окончательном сравнении часы Алисы и Кэрол согласятся, ${displaystyle t_{C}=t_{A}}$. Ниже будет показано, что в теории относительности это не так. Это вариант известного "парадокс близнецов "в котором однояйцевые близнецы разделяются и воссоединяются, только чтобы обнаружить, что один из них старше другого.

Если Алиса время от времени посылает вспышку света ${displaystyle t_{A}=T}$ к Бобу, тогда по определению k-фактор, он будет получен Бобом во время ${displaystyle t_{B}=kT}$. Вспышка рассчитана так, что она достигает Боба как раз в тот момент, когда Боб встречает Кэрол, поэтому Кэрол синхронизирует свои часы, чтобы прочитать ${displaystyle t_{C}=t_{B}=kT}$.

Кроме того, когда Боб и Кэрол встречаются, они оба одновременно посылают Алисе сигналы, которые одновременно принимает Алиса. Учитывая, во-первых, флэш Боба, посланный вовремя ${displaystyle t_{B}=kT}$, он должен быть получен Алисой во время ${displaystyle t_{A}=k^{2}T}$, используя тот факт, что k-фактор от Алисы к Бобу такой же, как k-фактор от Боба до Алисы.

Поскольку дальнейшее путешествие Боба длилось ${displaystyle kT}$, по его часам, из симметрии следует, что обратный путь Кэрол на такое же расстояние с той же скоростью также должен иметь продолжительность ${displaystyle kT}$, по ее часам, и поэтому, когда Кэрол встречает Алису, часы Кэрол показывают ${displaystyle t_{C}=2kT}$. В k-фактор для этого отрезка пути должен быть обратным ${displaystyle 1/k}$ (как обсуждалось ранее), поэтому, учитывая вспышку Кэрол в направлении Алисы, интервал передачи ${displaystyle kT}$ соответствует интервалу приема ${displaystyle T}$. Это означает, что последнее время на часах Алисы, когда встречаются Кэрол и Алиса, будет ${displaystyle t_{A}=(k^{2}+1)T}$. Это больше, чем часы Кэрол ${displaystyle t_{C}=2kT}$ поскольку

${displaystyle t_{A}-t_{C}=(k^{2}-2k+1)T=(k-1)^{2}T>0,}$

предоставлена ${displaystyle keq 1}$ и ${displaystyle T>0}$.^[11] 

Радарные измерения и скорость

Диаграмма пространства-времени для радиолокационных измерений

  Алиса

  Боб

  Дэйв

  Радарный импульс

в k-методика исчисления, расстояния измеряются с использованием радар. Наблюдатель посылает радиолокационный импульс на цель и получает от нее эхо. Радарный импульс (который распространяется на ${displaystyle c}$, скорость света) проходит общее расстояние туда и обратно, что вдвое превышает расстояние до цели, и требует времени ${displaystyle T_{2}-T_{1}}$, где ${displaystyle T_{1}}$ и ${displaystyle T_{2}}$ - время, зарегистрированное часами наблюдателя при передаче и приеме радиолокационного импульса. Это означает, что расстояние до цели равно^[12]

${displaystyle x_{A}={ frac {1}{2}}c(T_{2}-T_{1}).}$

Кроме того, поскольку скорость света одинакова в обоих направлениях, время, в которое импульс радара достигает цели, по мнению наблюдателя, должно быть посередине между временем передачи и приема, а именно:^[12]

${displaystyle t_{A}={ frac {1}{2}}(T_{2}+T_{1}).}$

В конкретном случае, когда наблюдателем радара является Алиса, а целью является Боб (на мгновение совмещенный с Дейвом), как описано ранее, k-calculus у нас есть ${displaystyle T_{2}=k^{2}T_{1}}$, и так

${displaystyle x_{A}={ frac {1}{2}}c(k^{2}-1)T_{1}}$

${displaystyle t_{A}={ frac {1}{2}}(k^{2}+1)T_{1}.}$

Поскольку Алиса и Боб жили вместе в ${displaystyle t_{A}=0,x_{A}=0}$, скорость Боба относительно Алисы определяется выражением^[13][14]

${displaystyle v={frac {x_{A}}{t_{A}}}={frac {{ frac {1}{2}}c(k^{2}-1)T_{1}}{{ frac {1}{2}}(k^{2}+1)T_{1}}}=c{frac {k^{2}-1}{k^{2}+1}}=c{frac {k-k^{-1}}{k+k^{-1}}}.}$

Это уравнение выражает скорость как функцию Бонди k-фактор. Это можно решить за ${displaystyle k}$ давать ${displaystyle k}$ как функция ${displaystyle v}$:^[13][15]

${displaystyle k={sqrt {frac {1+v/c}{1-v/c}}}.}$

Скоростной состав

Диаграмма пространства-времени, показывающая k-факторный состав

  Алиса

  Боб

  Эд

  Вспышка света

Рассмотрим трех инерциальных наблюдателей Алису, Боба и Эд, расположенных в указанном порядке и движущихся с разными скоростями по одной и той же прямой. В этом разделе обозначения ${displaystyle k_{AB}}$ будет использоваться для обозначения k-фактор от Алисы к Бобу (и аналогично между другими парами наблюдателей).

Как и прежде, Алиса посылает синюю вспышку Бобу и Эду каждые ${displaystyle T}$ секунд по ее часам, которые Боб получает каждые ${displaystyle k_{AB}T}$ секунд по часам Боба, и Эд получает каждые ${displaystyle k_{AE}T}$ секунд, по часам Эда.

Теперь предположим, что всякий раз, когда Боб получает синюю вспышку от Алисы, он немедленно посылает Эду свою красную вспышку, раз в ${displaystyle k_{AB}T}$ секунд по часам Боба, поэтому Эд получает красную вспышку от Боба каждые ${displaystyle k_{BE}(k_{AB}T)}$ секунд, по часам Эда. Второй постулат Эйнштейна о том, что скорость света не зависит от движения его источника, подразумевает, что синяя вспышка Алисы и красная вспышка Боба движутся с одинаковой скоростью, не догоняя друг друга, и, следовательно, достигают Эда одновременно. Следовательно, по измерениям Эда, интервал красных вспышек ${displaystyle k_{BE}(k_{AB}T)}$ и интервал синей вспышки ${displaystyle k_{AE}T}$ должно быть таким же. Итак, правило комбинирования k-factors - это просто умножение:^[16]

${displaystyle k_{AE}=k_{AB}k_{BE}.}$

Наконец, подставив

${displaystyle k_{AB}={sqrt {frac {1+v_{AB}/c}{1-v_{AB}/c}}},,k_{BE}={sqrt {frac {1+v_{BE}/c}{1-v_{BE}/c}}},,v_{AE}=c{frac {k_{AE}^{2}-1}{k_{AE}^{2}+1}}}$

дает формула скоростного состава^[16]

${displaystyle v_{AE}={frac {v_{AB}+v_{BE}}{1+v_{AB}v_{BE}/c^{2}}}.}$

Инвариантный интервал

Диаграмма пространства-времени для вывода инвариантного интервала и преобразования Лоренца

  Алиса

  Боб

  Радарный импульс

Используя описанный ранее радиолокационный метод, инерциальный наблюдатель Алиса назначает координаты ${displaystyle (t_{A},x_{A})}$ к событию, передавая радиолокационный импульс во время ${displaystyle t_{A}-x_{A}/c}$ и получая его эхо во время ${displaystyle t_{A}+x_{A}/c}$по ее часам.

Точно так же инерциальный наблюдатель Боб может назначить координаты ${displaystyle (t_{B},x_{B})}$ к тому же событию, передавая радиолокационный импульс во время ${displaystyle t_{B}-x_{B}/c}$ и получая его эхо во время ${displaystyle t_{B}+x_{B}/c}$, судя по его часам. Однако, как показано на диаграмме, Бобу необязательно генерировать свой собственный радиолокационный сигнал, так как он может просто взять время из сигнала Алисы.

Теперь, применяя k-calculus к сигналу, который проходит от Алисы к Бобу

${displaystyle k={frac {t_{B}-x_{B}/c}{t_{A}-x_{A}/c}}.}$

Аналогично, применяя k-calculus к сигналу, который проходит от Боба к Алисе

${displaystyle k={frac {t_{A}+x_{A}/c}{t_{B}+x_{B}/c}}.}$

Приравнивая два выражения для ${displaystyle k}$ и переставляя,^[17]

${displaystyle c^{2}t_{A}^{2}-x_{A}^{2}=c^{2}t_{B}^{2}-x_{B}^{2}.}$

Тем самым установлено, что величина ${displaystyle c^{2}t^{2}-x^{2}}$ является инвариантом: он принимает одно и то же значение в любой инерциальной системе координат и известен как инвариантный интервал.

Преобразование Лоренца

Два уравнения для ${displaystyle k}$ в предыдущем разделе можно решить как систему уравнений, чтобы получить:^[17][18]

${displaystyle ct_{B}={ frac {1}{2}}(k+k^{-1})ct_{A}-{ frac {1}{2}}(k-k^{-1})x_{A}}$

${displaystyle x_{B}={ frac {1}{2}}(k+k^{-1})x_{A}-{ frac {1}{2}}(k-k^{-1})ct_{A}}$

Эти уравнения являются Преобразование Лоренца выражается в терминах бонди k-фактор вместо скорости. Подставив

${displaystyle k={sqrt {frac {1+v/c}{1-v/c}}},}$

более традиционная форма

${displaystyle t_{B}={frac {t_{A}-vx_{A}/c^{2}}{sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}};,x_{B}={frac {x_{A}-vt_{A}}{sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}}$

получается.^[17][18]

Быстрота

Быстрота ${displaystyle varphi }$ можно определить из k-фактор по^[19]

${displaystyle varphi =log _{e}k,,k=e^{varphi },}$

и так

${displaystyle v=c{frac {k-k^{-1}}{k+k^{-1}}}=c anh varphi .}$

В k-факторная версия преобразования Лоренца становится

${displaystyle ct_{B}=ct_{A}cosh varphi -x_{A}sinh varphi }$

${displaystyle x_{B}=x_{A}cosh varphi -ct_{A}sinh varphi }$

Из правила композиции для ${displaystyle k}$, ${displaystyle k_{AE}=k_{AB}k_{BE}}$, что правилом композиции для скоростей является сложение:^[19]

${displaystyle varphi _{AE}=varphi _{AB}+varphi _{BE}.}$

Рекомендации

1. Например, Woodhouse, NMJ (2003), Специальная теория относительности, Спрингер, ISBN  1-85233-426-6, стр.58–65
2. Например, Рэй д'Инверно (1992). "Глава 2: k-исчисление". Введение в теорию относительности Эйнштейна. Кларендон Пресс. ISBN  0-19-859686-3.
3. Бонди, Герман (1964). Относительность и здравый смысл. Нью-Йорк: Doubleday & Company. (Также опубликовано в 1965 году в Великобритании Heinemann и переиздано в 1980 году Dover.)
4. д'Инверно (1992), стр.40
5. Милн, Э.А. (1935), Теория относительности, гравитация и структура мира, Oxford University Press, стр. 36–38.
6. Бонди (1964), стр.109.
7. Бонди (1964) стр. 80
8. Бонди (1964) стр.88
9. Вудхаус (2003), стр.63.
10. Бонди (1964) стр.77.
11. Бонди (1964), стр. 80–90.
12. Вудхаус (2003) стр.60
13. Бонди (1964), стр.103.
14. Woodhouse (2003), стр.64.
15. Woodhouse (2003), стр.65.
16. Бонди (1964) стр.105
17. Бонди (1964), стр.118
18. Woodhouse (2003), стр.67.
19. Вудхаус (2003), стр.71

внешняя ссылка

• Обзор Bondi k-Calculus