Булево дифференциальное исчисление - Boolean differential calculus

Булево дифференциальное исчисление (BDC) (Немецкий: Boolescher Differentialkalkül (БДК)) является предметной областью Булева алгебра обсуждение изменений Булевы переменные и Логические функции.

Концепции булевого дифференциального исчисления аналогичны концепциям классического дифференциальное исчисление, в частности, изучение изменений функций и переменных по отношению к другому / другим.^[1]

Булево дифференциальное исчисление допускает различные аспекты теория динамических систем такие как

• теория автоматов на конечные автоматы
• Теория сети Петри^[2]
• теория диспетчерского управления (SCT)

обсуждаться в единой и закрытой форме, объединяя их индивидуальные преимущества.

История и приложения

Первоначально вдохновленный дизайном и тестированием коммутационные схемы и использование коды с исправлением ошибок в электротехника, корни для развития того, что позже превратилось в булево дифференциальное исчисление, были положены работами Ирвинг С. Рид,^[3] Дэвид Э. Мюллер,^[4] Дэвид А. Хаффман,^[5] Шелдон Б. Акерс-младший.^[6] и А. Д. Таланцев (А. Д. Таланцев, А. Д. Таланцев)^[7] между 1954 и 1959 годами, и Фредерик Ф. Селлерс младший,^[8][9] Му-Юэ Сяо^[8][9] и Лерой В. Беарсон^[8][9] в 1968 г.

С тех пор были достигнуты значительные успехи как в теории, так и в применении BDC при проектировании схем переключения и логический синтез.

Работы Андре Тайс,^{[10][11][12][13][14]} Марк Давио^[11][12][13] и Жан-Пьер Дешам^[13] в 1970-е годы сформировали основы BDC, на которых Дитер Бохманн [де ],^[15] Кристиан Постхофф^[15] и Бернд Штайнбах [де ]^[16] позже развил BDC в самостоятельную математическую теорию.

Дополнительная теория Булево интегральное исчисление (Немецкий: Boolescher Integralkalkül) также был разработан.^[15][17]

BDC также нашел применение в дискретные событийные динамические системы (DEDS)^[18] в цифровая сеть протоколы связи.

Между тем, BDC видел расширения многозначный переменные и функции^[15][19][20] а также решетки булевых функций.^[21][22]

Обзор

Булево дифференциальные операторы играют важную роль в BDC. Они позволяют применять дифференциалы как известно из классических анализ для расширения до логических функций.

Дифференциалы ${\displaystyle dx_{i}}$ логической переменной ${\displaystyle x_{i}}$ моделирует отношение:

${\displaystyle dx_{i}={\begin{cases}0,&{\text{no change of }}x_{i}\\1,&{\text{change of }}x_{i}\end{cases}}}$

Нет ограничений в отношении характера, причин и последствий изменения.

Дифференциалы ${\displaystyle dx_{i}}$ бинарны. Их можно использовать как обычные двоичные переменные.

Смотрите также

• Булева алгебра
• Теорема разложения Буля
• Рамаджа-Вонэма

использованная литература

1. Х. Велан, Булева алгебра в Энциклопедия математики
2. Шойринг, Райнер; Велан, Герберт «Ганс» (1991-12-01) [июль 1991]. Бреттауэр, Георг (ред.). "Der Boolesche Differentialkalkül - eine Methode zur Analyze und Synthese von Petri-Netzen" [Булево дифференциальное исчисление - метод анализа и синтеза сетей Петри]. at - Automatisierungstechnik - Methoden und Anwendungen der Steuerungs-, Regelungs- und Informationstechnik (на немецком). Штутгарт, Германия: Р. Ольденбург Верлаг [де ]. 39 (7): 226–233. Дои:10.1524 / авто.1991.39.112.226. ISSN  0178-2312. В архиве из оригинала на 2017-10-16. Получено 2017-10-16. (8 страниц)
3. Рид, Ирвинг Стой (1954). «Класс кодов с множественными ошибками и схема декодирования». Сделки IRE Профессиональная группа по теории информации (PGIT). Институт Радиоинженеров (IRE). ПГИТ-4 (4): 38–49. (12 страниц)
4. Мюллер, Дэвид Юджин (1954). «Применение булевой алгебры для проектирования коммутационных схем и обнаружения ошибок». Сделки IRE Professional Group по электронным компьютерам (PGEC). PGEC-3: 6–12. (7 страниц)
5. Хаффман, Дэвид Альберт (1958-01-15). «Критерий разрешимости одновременных логических уравнений». Ежеквартальный отчет о проделанной работе. Кембридж, Массачусетс, США: Исследовательская лаборатория электроники MIT (48): 87–88. 156–161 нашей эры. (2 страницы)
6. Акерс-младший, Шелдон Бэкингем (декабрь 1959 г.) [1957-09-27 (представление), 1959-05-28 (редакция)]. «К теории булевых функций». Журнал Общества промышленной и прикладной математики. Общество промышленной и прикладной математики (СИАМ). 7 (4): 487–498. Дои:10.1137/0107041. ISSN  0368-4245. (12 страниц)
7. Таланцев [Таланцев], А. Д. [А. D.] (1959) [1958-11-01 (представление)]. "Об анализе и синтезе некоторых электрических схем при помощи специальных логических операторов" б анализа и синтезе некоторых электрических схем при помощи специальных логических операторов [Анализ и синтез некоторых электрических цепей с помощью специальных логических операторов]. Автоматика и телемеханика (Автоматика и телемеханика ) [Автоматизация и дистанционное управление ] (по-русски). Москва, Россия. 20 (7): 898–907. Ми  at12783. В архиве с оригинала на 2017-10-17. Получено 2017-10-17. […] Основное содержание статьи доложено на семинаре по техническим приложениям математической логики в МГУ 2 / Х 1958 г. и 16/1 1959 г. […] Автор считает своим долгом выразить признательность В. А. Трапезникову [RU ], В. И. Шестакову и М. Л. Цетлину за интерес к работе и ценные замечания при обсуждении результатов. […] [[…] Основное содержание статьи было представлено на практическом семинаре по математической логике Московский Государственный Университет на 1958-10-02 и 1959-01-16 […] Автор считает своим долгом выразить благодарность В. А. Трапезников [RU ], В. И. Шестаков и М. Л. Цетлин за интерес к работе и ценные комментарии при обсуждении результатов. […]] (10 страниц)
8. Селлерс, младший, Фредерик Ф .; Сяо, Му-Юэ; Беарсон, Лерой В. (июль 1968 г.). «Анализ ошибок с помощью логической разности». Транзакции IEEE на компьютерах. С-17 (7): 676–683. Дои:10.1109 / TC.1968.227417. ISSN  0018-9340. (8 страниц)
9. Селлерс, младший, Фредерик Ф .; Сяо, Му-Юэ; Беарсон, Лерой В. (ноябрь 1968 г.). Логика обнаружения ошибок для цифровых компьютеров (1-е изд.). Нью-Йорк, США: Книжная компания McGraw-Hill. С. 17–37. LCCN  68-16491. OCLC  439460. (21 из xviii + 295 страниц)
10. Тэйз, Андре (октябрь 1970 г.) [май 1970 г.]. «Переходный анализ логических сетей применительно к обнаружению опасностей» (PDF). Отчеты об исследованиях Philips. Брюссель, Бельгия: Исследовательская лаборатория Philips. 25 (5): 261–336. R737. Архивировано из оригинал (PDF) на 2017-03-08. Получено 2017-10-17. […] Автор признателен доктору М. Давио за его постоянный интерес и комментарии к этой работе. Спасибо также господину К. Фоссепрес который изначально предложил основную проблему, рассматриваемую здесь. […] (76 страниц)
11. Тэйз, Андре (февраль 1971 г.). "Логическое дифференциальное исчисление" (PDF). Отчеты об исследованиях Philips. Брюссель, Бельгия: Исследовательская лаборатория Philips. 26 (2): 229–246. R764. Архивировано из оригинал (PDF) на 2017-03-08. Получено 2017-10-16. […] Аннотация: После краткого обзора классических понятий, относящихся к булевому дифференциальному исчислению, предпринимается теоретическое исследование различных дифференциальных операторов. Упоминается применение этих концепций к нескольким важным проблемам, возникающим в практике коммутации. […] Благодарность: Автор особенно благодарен доктору М. Давио за его поддержку и поддержку, а также за несколько идей в презентации. […] (18 страниц)
12. Тэйз, Андре; Давио, Марк (1973-04-01). «Логическое дифференциальное исчисление и его применение в теории переключений». Транзакции IEEE на компьютерах. С-22 (4): 409–420. Дои:10.1109 / T-C.1973.223729. (12 страниц)
13. Давио, Марк; Дешам, Жан-Пьер; Тэйз, Андре (1978-08-01). Дискретные и коммутационные функции (1-е изд.). Нью-Йорк, США: Георги Паблишинг Компани / Международная книжная компания McGraw-Hill. ISBN  0-07-015509-7. LCCN  77-030718. (xx + 729 стр.)
14. Тэйз, Андре (1981). Гус, Герхард; Хартманис, Юрис (ред.). Логическое исчисление различий. Конспект лекций по информатике. 101 (1-е изд.). Берлин: Springer-Verlag. ISBN  3-540-10286-8. (144 страницы)
15. Бохманн, Дитер; Постхофф, Кристиан (1981). Binäre Dynamische Systeme [Бинарные динамические системы] (на немецком языке) (1-е изд.). Академия-Верлаг, Берлин / Р. Ольденбург Верлаг [де ], Мюнхен. ISBN  3-486-25071-X. DNB-IDN  810757168, 810200317. Лицензионный номер [де ]: 202.100 / 408/81. Код заказа: 7623619 (6391). (397 страниц) (NB. Per DNB-IDN  368893146 русский перевод этого произведения был выпущен в 1986 г.)
16. Бохманн, Дитер; Штейнбах, Бернд (1991). Logikentwurf mit XBOOLE - Алгоритмы и программа [Логический дизайн с XBOOLE - Алгоритмы и программы] (на немецком языке) (1-е изд.). Берлин, Германия: Verlag Technik [де ]. ISBN  3-341-01006-8. DNB-IDN  911196102. (303 страницы + 5,25-дюймовая дискета)
17. Штайнбах, Бернд; Постхофф, Кристиан (2013-07-01). Торнтон, Митчелл А. (ред.). Булевы дифференциальные уравнения. Синтез лекций по цифровым схемам и системам (1-е изд.). Сан-Рафаэль, Калифорния, США: Morgan & Claypool Publishers. Дои:10.2200 / S00511ED1V01Y201305DCS042. ISBN  978-1-62705-241-2. Лекция №42. (158 стр.)
18. Шойринг, Райнер; Велан, Герберт "Ганс" (1991-09-01). Франке, Дитер; Краус, Франта (ред.). «О построении дискретно-событийных динамических систем с помощью булево-дифференциального исчисления». Первый симпозиум МФБ по методам проектирования систем управления. Цюрих, Швейцария: Международная федерация автоматического управления (МФБ) / Pergamon Press. 2: 723–728. Дои:10.1016 / S1474-6670 (17) 54214-7. (6 страниц)
19. Анушкевич [Янушкевич], Светлана Н. [Светлана Н.] (1998). Логическое дифференциальное исчисление в многозначном логическом дизайне. Журнал Prace Naukowe Politechniki Szczecińskiej (Кандидатская диссертация) (1-е изд.). Щецин, Польша: Instytut Informatyki, Технический университет Щецина. ISBN  978-8-387423-16-2. ISSN  1506-3054. ISBN  8-387423-16-5. (326 страниц)
20. Бохманн, Дитер (2008-09-01). Бинарные системы - БУЛЕВАЯ книга (1-е изд.). Дрезден, Германия: TUDpress Verlag der Wissenschaften. ISBN  978-3-940046-87-1. DNB-IDN  989771636. (421 стр.) Перевод: Бохманн, Дитер (Февраль 2006 г.). Binäre Systeme - Ein BOOLEAN Buch [Бинарные системы - логическая книга] (на немецком языке) (1-е изд.). Хаген, Германия: LiLoLe-Verlag GmbH (Life-Long Learning) / BoD GmbH. ISBN  3-934447-10-4. ISBN  978-3-934447-10-3. DNB-IDN  978899873. (452 стр.)
21. Штайнбах, Бернд; Постхофф, Кристиан (2013). «Операции с производными для решеток булевых функций» (PDF). Труды семинара Reed-Muller 2013. Тояма, Япония: 110–119. В архиве (PDF) из оригинала на 21.10.2017. Получено 2017-10-21. (10 страниц)
22. Штайнбах, Бернд; Постхофф, Кристиан (2017-06-07). Торнтон, Митчелл А. (ред.). Булево дифференциальное исчисление. Синтез лекций по цифровым схемам и системам (1-е изд.). Сан-Рафаэль, Калифорния, США: Morgan & Claypool Publishers. Дои:10.2200 / S00766ED1V01Y201704DCS052. ISBN  978-1-62705-922-0. Лекция №52. (216 стр.)

дальнейшее чтение

• Давио, Марк; Пирет, Филипп М. (июль 1969 г.). "Les dérivées Booléennes et leur application au diagnostics" [Булевы производные, их применение и диагностика]. Philips Revue (На французском). Брюссель, Бельгия: Исследовательская лаборатория Philips, Производитель Belge de Lampes et de Materiel Electronique (Исследовательская лаборатория МБЛЭ). 12 (3): 63–76. (14 страниц)
• Рудяну, Серджиу (сентябрь 1974 г.). Булевы функции и уравнения. Издательская компания Северной Голландии /Американская издательская компания Elsevier. ISBN  0-44410520-4. ISBN  0-72042082-2. (462 стр.)
• Бохманн, Дитер (1977). «Булево дифференциальное исчисление (обзор)». Инженерная кибернетика. Институт инженеров по электротехнике и электронике (IEEE). 15 (5): 67–75. ISSN  0013-788X. (9 страниц) Перевод: Бохманн, Дитер (1977). «[Логическое дифференциальное исчисление (обзор)]». Известия Академии наук СССР - Техническая кибернетика (Известия Академии Наук СССР - Техническая кибернетика). (5): 125–133. (9 стр.)
• Кюнрих, Мартин (1986) [1984-07-31 (представление)]. «Дифференциально-операторы über Booleschen Algebren» [Дифференциальные операторы на булевых алгебрах]. Zeitschrift für Mathematische Logik und Grundlagen der Mathematik (на немецком). Берлин, Германия (восток). 32 (17–18): 271–288. Дои:10.1002 / malq.19860321703. #18. (18 страниц)
• Дрезиг, Франк (1992). Gruppierung - Theorie und Anwendung in der Logiksynthese [Группировка - Теория и применение в логическом синтезе]. Fortschritt-Berichte VDI. 9 (на немецком языке). 145. Дюссельдорф, Германия: VDI-Verlag [де ]. ISBN  3-18-144509-6. DNB-IDN  940164671. (NB. Также: Chemnitz, Technische Universität, Диссертация.) (147 страниц)
• Шойринг, Райнер; Велан, Герберт «Ганс» (1993). «Управление дискретными событийными системами с помощью булевого дифференциального исчисления». В Балеми, Сильвано; Козак, Петр; Смединга, Рейн (ред.). Системы с дискретными событиями: моделирование и управление. Прогресс в теории систем и управления (PSCT). 13. Базель, Швейцария: Birkhäuser Verlag. С. 79–93. Дои:10.1007/978-3-0348-9120-2_7. (15 страниц)
• Постхофф, Кристиан; Штайнбах, Бернд (2004-02-04). Логические функции и уравнения - двоичные модели для компьютерных наук (1-е изд.). Дордрехт, Нидерланды: Springer Science + Business Media B.V. Дои:10.1007/978-1-4020-2938-7. ISBN  1-4020-2937-3. OCLC  254106952. ISBN  978-1-4020-2937-0. (392 стр.)
• Штейнбах, Бернд; Постхофф, Кристиан (12 февраля 2009 г.). Логические функции и уравнения - примеры и упражнения (1-е изд.). Дордрехт, Нидерланды: Springer Science + Business Media B.V. Дои:10.1007/978-1-4020-9595-5. ISBN  978-1-4020-9594-8. LCCN  2008941076. (xxii + 232 стр.) [1] (NB. Per DNB-IDN  1010457748 это издание в твердом переплете было переиздано в 2010 году в мягком переплете.)
• Штайнбах, Бернд; Постхофф, Кристиан (01.06.2010). «Логическое дифференциальное исчисление - теория и приложения». Журнал вычислительной и теоретической нанонауки. Американские научные издательства. 7 (6): 933–981. Дои:10.1166 / jctn.2010.1441. ISSN  1546-1955. (49 страниц)
• Штайнбах, Бернд; Постхофф, Кристиан (2010-01-15) [2009]. «Глава 3: Логическое дифференциальное исчисление». В Сасао, Цутому; Батлер, Джон Т. (ред.). Прогресс в приложениях булевых функций. Синтез лекций по цифровым схемам и системам (1-е изд.). Сан-Рафаэль, Калифорния, США: Morgan & Claypool Publishers. стр.55 –78, 121–126. Дои:10.2200 / S00243ED1V01Y200912DCS026. ISBN  978-1-60845-181-4. Лекция 26. (24 из 153 страниц)

внешние ссылки

• Велан, Герберт «Ганс» (06.12.2010). Хазевинкель, Михиэль (ред.). Булево дифференциальное исчисление. Энциклопедия математики. Springer Science + Business Media. ISBN  978-1-4020-0609-8. В архиве из оригинала на 2017-10-16. Получено 2017-10-16.
• Institut für Informatik (IfI) (2017). «XBOOLE». TU Bergakademie Freiberg. В архиве с оригинала на 31.10.2017. Получено 2017-10-31. с участием «Монитор XBOOLE». 2008-07-23. Архивировано из оригинал на 2017-10-31. Получено 2017-10-31.