Уравнение Борда – Карно - Borda–Carnot equation

В динамика жидкостей то Уравнение Борда – Карно является эмпирический описание механическая энергия потери жидкость из-за (внезапного) поток расширение. Он описывает, как общая голова снижается за счет потерь. Это контрастирует с Принцип Бернулли за безрассудный расход (без необратимых потерь), где полный напор постоянен вдоль рационализировать. Уравнение названо в честь Жан-Шарль де Борда (1733–1799) и Лазар Карно (1753–1823).

Это уравнение используется как для поток в открытом канале а также в труба течет. В тех частях потока, где необратимые потери энергии незначительны, можно использовать принцип Бернулли.

Формулировка

Уравнение Борда – Карно:^[1][2]

${displaystyle Delta E,=,xi ,{scriptstyle {frac {1}{2}}},ho ,left(v_{1},-,v_{2}ight)^{2},}$

куда

• ΔE - потеря механической энергии жидкости,
• ξ - эмпирический коэффициент потерь, который равен безразмерный и имеет значение от нуля до единицы, 0 ≤ ξ ≤ 1,
• ρ это жидкость плотность,
• v₁ и v₂ являются средним скорости потока до и после расширения.

В случае резкого и широкого расширения коэффициент потерь равен единице.^[1] В других случаях коэффициент потерь необходимо определять другими способами, чаще всего из эмпирические формулы (на основе данных, полученных эксперименты ). Уравнение потерь Борда – Карно справедливо только для убывающей скорости, v₁ > v₂, иначе потеря ΔE равно нулю - без механическая работа дополнительными внешними силы не может быть прироста механической энергии жидкости.

Коэффициент потерь ξ может быть под влиянием рационализация. Например, в случае расширения трубы, использование постепенного расширения диффузор может снизить потери механической энергии.^[3]

Связь с общим напором и принципом Бернулли

Уравнение Борда – Карно дает уменьшение постоянной Уравнение Бернулли. Для несжимаемого потока результат - для двух точек, обозначенных 1 и 2, с местоположением 2 ниже по потоку до 1 - вдоль рационализировать:^[2]

${displaystyle p_{1},+,{scriptstyle {frac {1}{2}}},ho ,v_{1}^{2},+,ho ,g,z_{1},=,p_{2},+,{scriptstyle {frac {1}{2}}},ho ,v_{2}^{2},+,ho ,g,z_{2},+,Delta E,}$

с

• п₁ и п₂ то давление в местах 1 и 2,
• z₁ и z₂ вертикальное возвышение - над некоторым опорным уровнем - жидкой частицы, и
• грамм то гравитационное ускорение.

Первые три члена по обе стороны от знак равенства соответственно давление, кинетическая энергия плотность жидкости и потенциальная энергия плотность за счет силы тяжести. Как видно, давление эффективно действует как форма потенциальной энергии.

В случае трубопроводов высокого давления, когда гравитационными эффектами можно пренебречь, ΔE равна потере Δ(п+½ρv²):

${displaystyle Delta E,=,Delta left(p,+,{scriptstyle {frac {1}{2}}},ho ,v^{2}ight).}$

За потоки в открытом канале, ΔE относится к общая голова потеря ΔH в качестве:^[1]

${displaystyle Delta E,=,ho ,g,Delta H,}$ с ЧАС общий напор:^[4] ${displaystyle H,=,h,+,{frac {v^{2}}{2g}},}$

куда час это гидравлическая головка - в свободная поверхность высота над ориентиром датум: час = z + п/(ρg).

Примеры

Внезапное расширение трубы

Внезапное расширение потока.

Уравнение Борда – Карно применяется к потоку при внезапном расширении горизонтальной трубы. В сечении 1 средняя скорость потока равна v₁, давление п₁ а площадь поперечного сечения равна А₁. Соответствующие величины потока в поперечном сечении 2 - далеко позади расширения (и областей отрывной поток ) - находятся v₂, п₂ и А₂, соответственно. При расширении поток отделяется и появляются бурный зоны рециркуляции с потерями механической энергии. Коэффициент потерь ξ для этого внезапного расширения примерно равно единице: ξ ≈ 1.0. Из-за сохранения массы при условии постоянной жидкости плотность ρ, то объемный расход через оба сечения 1 и 2 должны быть равны:

${displaystyle A_{1},v_{1},=A_{2},v_{2}}$ так ${displaystyle v_{2},=,{frac {A_{1}}{A_{2}}},v_{1}.}$

Следовательно, согласно уравнению Борда-Карно, потеря механической энергии при этом внезапном расширении составляет:

${displaystyle Delta E,=,{frac {1}{2}},ho ,left(1,-,{frac {A_{1}}{A_{2}}}ight)^{2},v_{1}^{2}.}$

Соответствующая потеря общего напора ΔH является:

${displaystyle Delta H,=,{frac {Delta E}{ho ,g}},=,{frac {1}{2,g}},left(1,-,{frac {A_{1}}{A_{2}}}ight)^{2},v_{1}^{2}.}$

В этом случае с ξ = 1, полное изменение кинетической энергии между двумя сечениями рассеивается. В результате перепад давления между обоими поперечными сечениями составляет (для этой горизонтальной трубы без эффектов силы тяжести):

${displaystyle Delta p,=,p_{1},-,p_{2},=,-,ho ,{frac {A_{1}}{A_{2}}}left(1,-,{frac {A_{1}}{A_{2}}}ight),v_{1}^{2},}$

и изменение гидравлического напора час = z + п/(ρg):

${displaystyle Delta h,=,h_{1},-,h_{2},=,-,{frac {1}{g}},{frac {A_{1}}{A_{2}}}left(1,-,{frac {A_{1}}{A_{2}}}ight),v_{1}^{2}.}$

Знак минус перед правые части, означают, что давление (и гидравлический напор) больше после расширения трубы. что это изменение давления (и гидравлического напора) непосредственно до и после расширения трубы соответствует потерям энергии, становится ясно при сравнении с результатами Принцип Бернулли. Согласно этому принципу отсутствия диссипации, снижение скорости потока связано с гораздо большим увеличением давления, чем в данном случае с потерями механической энергии.

Внезапное сокращение трубы

Поток из-за внезапного сокращения диаметра трубы с разделение потока пузыри возле поперечного сечения 3.

В случае внезапного уменьшения диаметра трубы без обтекания поток не сможет следовать по крутому изгибу в более узкую трубу. В результате есть разделение потока, создавая рециркуляционные разделительные зоны на входе в более узкую трубу. Основной поток сжимается между разделенными областями потока, а затем снова расширяется, чтобы покрыть всю площадь трубы.

Между поперечным сечением 1 до сжатия и сечением 3 незначительная потеря напора. вена контракта при котором основной поток сжимается больше всего. Но есть значительные потери при расширении потока от сечения 3 до 2. Эти потери напора можно выразить с помощью уравнения Борда-Карно, используя уравнение коэффициент сжатия μ:^[5]

${displaystyle mu ,=,{frac {A_{3}}{A_{2}}},}$

с А₃ площадь поперечного сечения в месте наиболее сильного сжатия основного потока 3, и А₂ площадь поперечного сечения более узкой части трубы. С А₃ ≤ А₂, коэффициент сжатия меньше единицы: μ ≤ 1. Снова наблюдается сохранение массы, поэтому объемные потоки в трех поперечных сечениях являются постоянными (для постоянной плотности жидкости ρ):

${displaystyle A_{1},v_{1},=,A_{2},v_{2},=,A_{3},v_{3},}$

с v₁, v₂ и v₃ средняя скорость потока в соответствующих сечениях. Тогда согласно уравнению Борда – Карно (с коэффициентом потерь ξ= 1), потеря энергии ΔE на единицу объема жидкости и за счет сжатия трубы составляет:

${displaystyle Delta E,=,{frac {1}{2}},ho ,left(v_{3},-,v_{2}ight)^{2},=,{frac {1}{2}},ho ,left({frac {1}{mu }},-,1ight)^{2},v_{2}^{2},=,{frac {1}{2}},ho ,left({frac {1}{mu }},-,1ight)^{2},left({frac {A_{1}}{A_{2}}}ight)^{2},v_{1}^{2}.}$

Соответствующая потеря общего напора ΔH можно вычислить как ΔH = ΔE/(ρg).

По измерениям Weisbach, коэффициент сжатия при сжатии с острыми краями приблизительно равен:^[6]

${displaystyle mu ,=,0.63,+,0.37,left({frac {A_{2}}{A_{1}}}ight)^{3}.}$

Вывод из баланса импульса для внезапного расширения

О внезапном расширении трубы см. рисунок выше, уравнение Борда – Карно может быть получено из масса- и сохранение импульса потока.^[7] Поток импульса S (т.е. для составляющей количества движения жидкости, параллельной оси трубы) через поперечное сечение площади А является - согласно Уравнения Эйлера:

${displaystyle S=A,left(ho ,v^{2}+pight).}$

Рассмотрим сохранение массы и импульса для контрольный объем ограничена поперечным сечением 1 перед расширением, поперечным сечением 2 после того, как поток снова присоединяется к стенке трубы (после разделения потока при расширении) и стенке трубы. Есть прирост контрольного объема S₁ при притоке и потере S₂ при оттоке. Кроме того, есть еще и вклад силы F за счет давления на жидкость, оказываемого стенкой расширения (перпендикулярно оси трубы):

${displaystyle F=(A_{2}-A_{1}),p_{1},}$

где предполагалось, что давление равно ближайшему давлению на входе п₁.

Добавляя вклады, баланс импульса для контрольного объема между сечениями 1 и 2 дает:

${displaystyle S_{1}-S_{2}+F=A_{1},left(ho ,v_{1}^{2}+p_{1}ight)-A_{2},left(ho ,v_{2}^{2}+p_{2}ight)+(A_{2}-A_{1}),p_{1}=0.}$

Следовательно, поскольку по сохранению массы ρ А₁ v₁ = ρ А₂ v₂:

${displaystyle Delta p=p_{1}-p_{2}=-ho ,left({frac {A_{1}}{A_{2}}},v_{1}^{2}-v_{2}^{2}ight)=-ho ,{frac {A_{1}}{A_{2}}},left(1-{frac {A_{1}}{A_{2}}}ight),v_{1}^{2},}$

в соответствии с перепадом давления Δп в примере выше.

Потери механической энергии ΔE является:

${displaystyle {egin{aligned}Delta E&=left(p_{1}+{ frac {1}{2}},ho ,v_{1}^{2}ight)-left(p_{2}+{ frac {1}{2}},ho ,v_{2}^{2}ight)=Delta p+{ frac {1}{2}},ho ,left(v_{1}^{2}-v_{2}^{2}ight)&=-ho ,v_{2},left(v_{1}-v_{2}ight)+{ frac {1}{2}},ho ,left(v_{1}^{2}-v_{2}^{2}ight)={ frac {1}{2}},ho ,left(v_{1}^{2}-2,v_{1},v_{2}+v_{2}^{2}ight)&={ frac {1}{2}},ho ,left(v_{1}-v_{2}ight)^{2},end{aligned}}}$

которое является уравнением Борды – Карно (с ξ = 1).

Смотрите также

• Уравнение Дарси – Вайсбаха.
• Уравнение Прони

Примечания

1. Шансон (2004), стр. 231.
2. Мэсси и Уорд-Смит (1998), стр. 274–280.
3. Гарде, Р. Дж. (1997), Гидромеханика сквозь проблемы, Издатели New Age, ISBN  978-81-224-1131-7. См. Стр. 347–349.
4. Шансон (2004), стр. 22.
5. Гард (1997), там жеС. 349–350.
6. Эртель, Герберт; Прандтль, Людвиг; Böhle, M .; Мэйс, Кэтрин (2004), Основы механики жидкости Прандтля, Спрингер, ISBN  978-0-387-40437-0. См. Стр. 163–165.
7. Бэтчелор (1967), §5.15.

Рекомендации

• Бэтчелор, Джордж К. (1967), Введение в динамику жидкости, Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-66396-0, 634 с.
• Шансон, Юбер (2004), Гидравлика потока в открытом канале: введение (2-е изд.), Баттерворт-Хайнеманн, ISBN  978-0-7506-5978-9, 634 с.
• Мэсси, Бернард Стэнфорд; Уорд-Смит, Джон (1998), Механика жидкостей (7-е изд.), Тейлор и Фрэнсис, ISBN  978-0-7487-4043-7, 706 с.