Уравнение Дарси – Вайсбаха. - Darcy–Weisbach equation

В динамика жидкостей, то Уравнение Дарси – Вайсбаха. является эмпирический уравнение, связывающее потеря головы, или же давление потеря из-за трение по заданной длине трубы до средней скорости потока жидкости для несжимаемой жидкости. Уравнение названо в честь Генри Дарси и Юлиус Вайсбах.

Уравнение Дарси – Вайсбаха содержит безразмерный коэффициент трения, известный как Коэффициент трения Дарси. Это также по-разному называется коэффициентом трения Дарси – Вайсбаха, коэффициентом трения, коэффициентом сопротивления или коэффициентом расхода.^[а]

Форма потери давления

В цилиндрической трубе одинакового диаметра D, при полном течении, потеря давления из-за вязких эффектов Δп пропорционально длине L и может быть охарактеризована уравнением Дарси – Вейсбаха:^[2]

${\displaystyle {\frac {\Delta p}{L}}=f_{\mathrm {D} }\cdot {\frac {\rho }{2}}\cdot {\frac {{\langle v\rangle }^{2}}{D}},}$

где потеря давления на единицу длины Δп/L (Единицы СИ: Па /м ) является функцией:

ρ, плотность жидкости (кг / м³);

D, то гидравлический диаметр трубы (для трубы круглого сечения это равно внутреннему диаметру трубы; в противном случае D ≈ 2√А/ π для трубы с площадью поперечного сечения А) (м);

<v>, значение скорость потока, экспериментально измеренная как объемный расход Q на единицу поперечного сечения смоченная область (РС);

ж_D, то Коэффициент трения Дарси (также называется коэффициентом расхода λ^[3][4]).

За ламинарный поток в круглой трубе диаметром ${\displaystyle D_{c}}$, коэффициент трения обратно пропорционален Число Рейнольдса один (ж_D = 64/Re), который может быть выражен в легко измеряемых или опубликованных физических величинах (см. раздел ниже). После этой замены уравнение Дарси – Вайсбаха перепишется в виде

${\displaystyle {\frac {\Delta p}{L}}={\frac {128}{\pi }}\cdot {\frac {\mu Q}{D_{c}^{4}}},}$

куда

μ это динамическая вязкость из жидкость (Па · с = Н · с / м² = кг / (м · с));

Q это объемный расход, используется здесь для измерения расхода вместо средней скорости в соответствии с Q = π/4D_c²<v> (м³/ с).

Обратите внимание, что эта ламинарная форма Дарси – Вайсбаха эквивалентна Уравнение Хагена – Пуазейля, который аналитически выводится из Уравнения Навье – Стокса.

Форма потери напора

В потеря головы Δчас (или же час_ж) выражает потерю давления из-за трения в терминах эквивалентной высоты столба рабочего тела, поэтому давление падение

${\displaystyle \Delta p=\rho g\,\Delta h,}$

куда

Δчас потеря напора из-за трения трубы по данной длине трубы (единицы СИ: м);^[b]

грамм это местное ускорение из-за сила тяжести (РС²).

Полезно представить потерю напора на длину трубы (безразмерную):

${\displaystyle S={\frac {\Delta h}{L}}={\frac {1}{\rho g}}\cdot {\frac {\Delta p}{L}},}$

куда L длина трубы (м).

Следовательно, уравнение Дарси – Вайсбаха также можно записать в терминах потери напора:^[5]

${\displaystyle S=f_{\text{D}}\cdot {\frac {1}{2g}}\cdot {\frac {{\langle v\rangle }^{2}}{D}}.}$

По объемному расходу

Связь между средней скоростью потока <v> и объемный расход Q является

${\displaystyle Q=A\cdot \langle v\rangle ,}$

куда:

Q - объемный расход (м³/ с),

А смоченная площадь поперечного сечения (м²).

В полнопроточной круглой трубе диаметром ${\displaystyle D_{c}}$,

${\displaystyle Q={\frac {\pi }{4}}D_{c}^{2}\langle v\rangle .}$

Тогда уравнение Дарси – Вейсбаха в терминах Q является

${\displaystyle S=f_{\text{D}}\cdot {\frac {8}{\pi ^{2}g}}\cdot {\frac {Q^{2}}{D_{c}^{5}}}.}$

Форма напряжения сдвига

Значение напряжение сдвига стенки τ в трубе или открытый канал выражается через коэффициент трения Дарси – Вайсбаха как^[6]

${\displaystyle \tau ={\frac {1}{8}}f_{\text{D}}\rho {\langle v\rangle }^{2}.}$

Напряжение сдвига стенки имеет Единица СИ из паскали (Па).

Коэффициент трения Дарси

Рисунок 1. В Коэффициент трения Дарси против Число Рейнольдса за 10 8 для гладких труб и диапазона значений относительной шероховатости ε/D. Данные взяты из Nikuradse (1932, 1933), Colebrook (1939) и McKeon (2004).

Коэффициент трения ж_D не является постоянной величиной: это зависит от таких вещей, как характеристики трубы (диаметр D и высота шероховатости ε) характеристики жидкости (ее кинематическая вязкость ν [nu]), а скорость потока жидкости ⟨v⟩. Было измерено высокая точность в определенных режимах потока и может быть оценен с помощью различных эмпирических соотношений или может быть прочитан из опубликованных диаграмм. Эти графики часто называют Диаграммы Moody, после Л. Ф. Муди, и поэтому сам фактор иногда ошибочно называют Коэффициент трения Муди. Его также иногда называют Блазиус коэффициент трения по предложенной им приближенной формуле.

На рисунке 1 показано значение ж_D как измерено экспериментаторами для множества различных жидкостей, в широком диапазоне чисел Рейнольдса и для труб с различной высотой шероховатости. В этих данных встречаются три основных режима течения жидкости: ламинарный, критический и турбулентный.

Ламинарный режим

За ламинарные (плавные) течения, это следствие Закон Пуазейля (которое вытекает из точного классического решения для потока жидкости), что

${\displaystyle f_{\mathrm {D} }={\frac {64}{\mathrm {Re} }},}$

куда Re это Число Рейнольдса

${\displaystyle \mathrm {Re} ={\frac {\rho }{\mu }}\langle v\rangle D={\frac {\langle v\rangle D}{\nu }},}$

и где μ вязкость жидкости и

${\displaystyle \nu ={\frac {\mu }{\rho }}}$

известен как кинематическая вязкость. В этом выражении для числа Рейнольдса характерная длина D считается гидравлический диаметр трубы, которая для цилиндрической трубы с полным потоком равна внутреннему диаметру. На рисунках 1 и 2 зависимости коэффициента трения от числа Рейнольдса режим Re <2000 демонстрирует ламинарный поток; коэффициент трения хорошо представлен приведенным выше уравнением.^[c]

Фактически, потери на трение в ламинарном режиме более точно охарактеризованы как пропорциональные скорости потока, а не пропорциональны квадрату этой скорости: можно было бы рассматривать уравнение Дарси-Вайсбаха как не совсем применимое в ламинарном режиме потока.

В ламинарном потоке потери на трение возникают из-за передачи количества движения от жидкости в центре потока к стенке трубы через вязкость жидкости; в потоке нет вихрей. Обратите внимание, что потери на трение нечувствительны к высоте шероховатости трубы. ε: скорость потока в окрестности стенки трубы равна нулю.

Критический режим

Для чисел Рейнольдса в диапазоне 2000 , поток неустойчивый (сильно меняется со временем) и меняется от одного участка трубы к другому (не «полностью развит»). Течение связано с зарождающимся образованием вихрей; это не совсем понятно.

Турбулентный режим

Фигура 2. В Коэффициент трения Дарси по сравнению с числом Рейнольдса для 1000 8 для гладких труб и диапазона значений относительной шероховатости ε/D. Данные взяты из Nikuradse (1932, 1933), Colebrook (1939) и McKeon (2004).

Для числа Рейнольдса больше 4000 поток является турбулентным; сопротивление потоку следует уравнению Дарси – Вайсбаха: оно пропорционально квадрату средней скорости потока. В области многих порядков величины Re (4000 8) коэффициент трения изменяется менее чем на порядок (0.006 < ж_D < 0.06). В турбулентном режиме потока характер потока можно далее разделить на режим, при котором стенка трубы является фактически гладкой, и режим, в котором высота шероховатости является заметной.

Гладкотрубный режим

Когда поверхность трубы гладкая (кривая «гладкая труба» на рисунке 2), изменение коэффициента трения с Re может быть смоделировано уравнением сопротивления Кармана – Прандтля для турбулентного потока в гладких трубах.^[3] с соответствующим образом настроенными параметрами

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {f_{\mathrm {D} }}}}=1.930\log \left(\mathrm {Re} {\sqrt {f_{\mathrm {D} }}}\right)-0.537.}$

Числа 1,930 и 0,537 феноменологические; эти конкретные значения достаточно хорошо соответствуют данным.^[7] Продукт Re√ж_D (так называемое «число Рейнольдса трения») можно рассматривать, как и число Рейнольдса, как (безразмерный) параметр потока: при фиксированных значениях Re√ж_Dкоэффициент трения также фиксируется.

В уравнении сопротивления Кармана – Прандтля ж_D может быть выражена в замкнутой форме как аналитическая функция от Re за счет использования Ламберт W функция:

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {f_{\mathrm {D} }}}}={\frac {1.930}{\ln(10)}}W\left(10^{\frac {-0.537}{1.930}}{\frac {\ln(10)}{1.930}}\mathrm {Re} \right)=0.838\ W(0.629\ \mathrm {Re} )}$

В этом режиме течения множество мелких вихрей ответственны за передачу количества движения от основной части жидкости к стенке трубы. Как число Рейнольдса трения Re√ж_D увеличивается, профиль скорости жидкости приближается к стенке асимптотически, тем самым передавая больший импульс стенке трубы, как моделируется в Пограничный слой Блазиуса теория.

Режим грубой трубы

Когда высота шероховатости поверхности трубы ε является значительным (обычно при высоком числе Рейнольдса), коэффициент трения отклоняется от гладкой кривой трубы, в конечном итоге приближаясь к асимптотическому значению (режим «грубой трубы»). В этом режиме сопротивление потоку изменяется в зависимости от квадрата средней скорости потока и нечувствительно к числу Рейнольдса. Здесь полезно использовать еще один безразмерный параметр потока - шероховатость число Рейнольдса^[8]

${\displaystyle R_{*}={\frac {1}{\sqrt {8}}}\left(\mathrm {Re} {\sqrt {f_{\mathrm {D} }}}\,\right){\frac {\varepsilon }{D}}}$

где высота шероховатости ε масштабируется по диаметру трубы D.

Рисунок 3. Функция шероховатости B в зависимости от трения числа Рейнольдса р_∗. При таком построении данные попадают в одну траекторию. Режим р_∗ < 1 эффективно обеспечивает плавный поток в трубе. Для больших р_∗, функция шероховатости B приближается к постоянному значению. Феноменологические функции, пытающиеся соответствовать этим данным, в том числе Афзал^[9] и Коулбрук – Уайт^[10] показаны.

Для наглядности построить функцию шероховатости B:^[11]

${\displaystyle B(R_{*})={\frac {1}{1.930{\sqrt {f_{\mathrm {D} }}}}}+\log \left({\frac {1.90}{\sqrt {8}}}\cdot {\frac {\varepsilon }{D}}\right)}$

На рисунке 3 показано B против р_∗ для грубых данных трубы Никурадзе,^[8] Шокирующий,^[12] и Лангеландсвик.^[13]

С этой точки зрения данные при разном соотношении шероховатостей ε/D упасть вместе, когда заговор против р_∗, демонстрируя масштабирование по переменной р_∗. Присутствуют следующие функции:

• Когда ε = 0, тогда р_∗ тождественно нулю: поток всегда находится в режиме гладкой трубы. Данные для этих точек лежат у левого края абсциссы и не попадают в рамки графика.
• Когда р_∗ < 5, данные лежат на линии B(р_∗) = р_∗; поток находится в режиме гладкой трубы.
• Когда р_∗ > 100, данные асимптотически приближаются к горизонтальной линии; они не зависят от Re, ж_D, и ε/D.
• Промежуточный диапазон 5 < р_∗ < 100 представляет собой переход от одного поведения к другому. Данные отклоняются от линии B(р_∗) = р_∗ очень медленно, максимум около р_∗ = 10, затем упадут до постоянного значения.

Подгонка к этим данным при переходе от плавного потока в трубе к грубому потоку в трубе использует экспоненциальное выражение в р_∗ что обеспечивает правильное поведение для 1 < р_∗ < 50 (переход от режима гладкой трубы к режиму шероховатой трубы):^[9][14][15]

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {f_{\mathrm {D} }}}}=-1.930\log \left({\frac {1.90}{\mathrm {Re} {\sqrt {f_{\mathrm {D} }}}}}\left(1+0.34R_{*}\exp {\frac {-11}{R_{*}}}\right)\right),}$

Эта функция имеет те же значения для своего члена, что и уравнение сопротивления Кармана – Прандтля, плюс один параметр 0,34, чтобы соответствовать асимптотическому поведению для р_∗ → ∞ вместе с одним дополнительным параметром, 11, для управления переходом от плавного к грубому потоку. Он представлен на рисунке 3.

Соотношение Колбрука – Уайта^[10] соответствует коэффициенту трения с функцией формы

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {f_{\mathrm {D} }}}}=-2.00\log \left({\frac {2.51}{\mathrm {Re} {\sqrt {f_{\mathrm {D} }}}}}\left(1+{\frac {R_{*}}{3.3}}\right)\right).}$^[d]

Это соотношение имеет правильное поведение при экстремальных значениях р_∗, как показано маркированной кривой на рисунке 3: когда р_∗ маленький, соответствует плавному потоку в трубе, когда большой, соответствует грубому потоку в трубе. Однако его характеристики в переходной области значительно завышают коэффициент трения.^[12] Коулбрук признает несоответствие данным Никурадзе, но утверждает, что его отношение согласуется с измерениями на коммерческих трубах. Действительно, такие трубы сильно отличаются от труб, тщательно подготовленных Никурадзе: их поверхности характеризуются множеством разной высоты шероховатости и случайным пространственным распределением точек шероховатости, в то время как трубы Никурадзе имеют поверхности с однородной высотой шероховатости с чрезвычайно плотно упакованными точками.

Расчет коэффициента трения по его параметризации

Смотрите также: Формулы коэффициента трения Дарси

За турбулентный поток, методы определения коэффициента трения ж_D включить использование диаграммы, например График Moody, или решение уравнений, таких как Уравнение Колбрука – Уайта (на котором основан график Moody) или Уравнение Свами-Джайна. В то время как соотношение Коулбрука – Уайта в общем случае является итерационным методом, уравнение Свами – Джайна позволяет ж_D следует искать непосредственно для полного потока в круглой трубе.^[5]

Прямой расчет при потерях на трение S известен

В типичных инженерных приложениях будет набор заданных или известных величин. Ускорение свободного падения грамм и кинематическая вязкость жидкости ν известны, как и диаметр трубы D и его высота шероховатости ε. Если также потеря напора на единицу длины S - известная величина, то коэффициент трения ж_D можно рассчитать непосредственно из выбранной функции подгонки. Решение уравнения Дарси – Вейсбаха для √ж_D,

${\displaystyle {\sqrt {f_{\mathrm {D} }}}={\frac {\sqrt {2gSD}}{\langle v\rangle }}}$

теперь мы можем выразить Re√ж_D:

${\displaystyle \mathrm {Re} {\sqrt {f_{\mathrm {D} }}}={\frac {1}{\nu }}{\sqrt {2g}}{\sqrt {S}}{\sqrt {D^{3}}}}$

Выражение числа Рейнольдса шероховатости р_∗,

${\displaystyle {\begin{aligned}R_{*}&={\frac {\varepsilon }{D}}\cdot \mathrm {Re} {\sqrt {f_{\mathrm {D} }}}\cdot {\frac {1}{\sqrt {8}}}\\&={\frac {1}{2}}{\frac {\sqrt {g}}{\nu }}\varepsilon {\sqrt {S}}{\sqrt {D}}\end{aligned}}}$

у нас есть два параметра, которые необходимо подставить в соотношение Колебрука – Уайта или любую другую функцию для коэффициента трения ж_D, скорость потока ⟨v⟩, а объемный расход Q.

Путаница с коэффициентом трения Фаннинга

Коэффициент трения Дарси – Вайсбаха ж_D в 4 раза больше, чем Коэффициент трения вентилятора ж, поэтому необходимо обратить внимание на то, какой из них имеется в виду в любой используемой диаграмме или уравнении «коэффициента трения». Из двух факторов фактор Дарси – Вейсбаха ж_D чаще используется инженерами-строителями и механиками, а коэффициент Фаннинга ж инженерами-химиками, но следует позаботиться о том, чтобы определить правильный коэффициент независимо от источника диаграммы или формулы.

Обратите внимание, что

${\displaystyle \Delta p=f_{\mathrm {D} }\cdot {\frac {L}{D}}\cdot {\frac {\rho {\langle v\rangle }^{2}}{2}}=f\cdot {\frac {L}{D}}\cdot {2\rho {\langle v\rangle }^{2}}}$

Большинство диаграмм или таблиц указывают тип коэффициента трения или, по крайней мере, предоставляют формулу для коэффициента трения при ламинарном потоке. Если формула ламинарного потока ж = 16/Re, это фактор Фаннинга ж, и если формула ламинарного течения имеет вид ж_D = 64/Re, это фактор Дарси – Вайсбаха ж_D.

Какой коэффициент трения отображается на диаграмме Муди, можно определить путем проверки, если издатель не включил формулу, описанную выше:

1. Обратите внимание на значение коэффициента трения для ламинарного потока при числе Рейнольдса 1000.
2. Если значение коэффициента трения составляет 0,064, то коэффициент трения Дарси отображается на диаграмме Муди. Обратите внимание, что ненулевые цифры в 0,064 являются числителем в формуле для коэффициента ламинарного трения Дарси: ж_D = 64/Re.
3. Если значение коэффициента трения составляет 0,016, то коэффициент трения Фаннинга отображается на диаграмме Муди. Обратите внимание, что ненулевые цифры в 0,016 являются числителем в формуле для ламинарного коэффициента трения Фаннинга: ж = 16/Re.

Вышеописанная процедура аналогична для любого доступного числа Рейнольдса, которое является целой степенью десяти. Нет необходимости запоминать значение 1000 для этой процедуры - для этой цели представляет интерес целая степень десяти.

История

Исторически это уравнение возникло как вариант на Уравнение Прони; этот вариант был разработан Генри Дарси Франции, и далее усовершенствованный в форму, используемую сегодня Юлиус Вайсбах из Саксония в 1845 г. Первоначально данные о вариации ж_D со скоростью отсутствовала, поэтому уравнение Дарси – Вейсбаха во многих случаях сначала превосходило эмпирическое уравнение Прони. В последующие годы во многих особых случаях от него отказались в пользу разнообразных эмпирические уравнения действительно только для определенных режимов потока, особенно Уравнение Хазена – Вильямса или Уравнение Мэннинга, большинство из которых было значительно проще использовать в расчетах. Однако с появлением калькулятор, простота расчета больше не является серьезной проблемой, и поэтому универсальность уравнения Дарси – Вайсбаха сделала его предпочтительным.^[16]

Вывод на основе анализа размеров

Вдали от концов трубы характеристики потока не зависят от положения вдоль трубы. Тогда ключевыми величинами являются падение давления в трубе на единицу длины, Δп/L, и объемный расход. Расход можно преобразовать в среднюю скорость потока. V разделив на смоченная область потока (что равно поперечный площадь трубы, если труба заполнена жидкостью).

Давление имеет размеры энергии на единицу объема, поэтому перепад давления между двумя точками должен быть пропорционален динамическое давление q. Мы также знаем, что давление должно быть пропорционально длине трубы между двумя точками. L поскольку перепад давления на единицу длины постоянен. Чтобы преобразовать соотношение в коэффициент пропорциональности безразмерной величины, мы можем разделить на гидравлический диаметр трубы, D, которая также постоянна по длине трубы. Следовательно,

${\displaystyle \Delta p\propto {\frac {L}{D}}q.}$

Коэффициент пропорциональности безразмерный »Коэффициент трения Дарси "или" коэффициент расхода ". Этот безразмерный коэффициент будет представлять собой комбинацию геометрических факторов, таких как π, число Рейнольдса и (вне ламинарного режима) относительная шероховатость трубы (отношение высота шероховатости к гидравлический диаметр ).

Обратите внимание, что динамическое давление - это не кинетическая энергия жидкости на единицу объема,^{[нужна цитата ]} по следующим причинам. Даже в случае ламинарный поток, где все выкидные линии параллельны длине трубы, скорость жидкости на внутренней поверхности трубы равна нулю из-за вязкости, поэтому скорость в центре трубы должна быть больше, чем средняя скорость, полученная путем деления объемного потока Оценить по влажной зоне. Тогда средняя кинетическая энергия включает среднеквадратичная скорость, которая всегда превышает среднюю скорость. В случае турбулентный поток, жидкость приобретает случайные составляющие скорости во всех направлениях, в том числе перпендикулярно длине трубы, и, таким образом, турбулентность вносит вклад в кинетическую энергию на единицу объема, но не в среднюю продольную скорость жидкости.

Практическое применение

В гидротехника приложение, это типично для объемного расхода Q внутри трубы (то есть ее производительность) и потери напора на единицу длины S (сопутствующее энергопотребление) являются критически важными факторами. Практическое следствие состоит в том, что при фиксированном объемном расходе Q, потеря напора S уменьшается с обратной пятой степенью диаметра трубы, D. Удвоение диаметра трубы заданного сортамента (скажем, стандарта ANSI 40) примерно вдвое увеличивает количество материала, требуемого на единицу длины, и, следовательно, его стоимость установки. При этом потеря напора снижается в 32 раза (снижение примерно на 97%). Таким образом, энергия, потребляемая при перемещении заданного объемного потока жидкости, резко сокращается при небольшом увеличении капитальных затрат.

Смотрите также

• Принцип Бернулли
• Формулы коэффициента трения Дарси
• Число Эйлера
• Потеря трения
• Уравнение Хагена – Пуазейля
• Водопроводная труба

Примечания

1. Значение коэффициента трения Дарси в четыре раза больше, чем у Коэффициент трения вентилятора, с чем его не следует путать.^[1]
2. Это связано с пьезометрическая головка по трубе.
3. Однако данные демонстрируют систематическое отклонение до 50% от теоретического уравнения Хагена – Пуазейля в области Re> 500 до наступления критического течения.
4. В исходной опубликованной форме

   ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {f_{\mathrm {D} }}}}=-2.00\log \left(2.51{\frac {1}{\mathrm {Re} {\sqrt {f_{\mathrm {D} }}}}}+{\frac {1}{3.7}}{\frac {\varepsilon }{D}}\right)}$

Рекомендации

1. Manning, Francis S .; Томпсон, Ричард Э. (1991). Нефтепромысловая переработка нефти. Vol. 1: Природный газ. Книги PennWell. п. 293. ISBN  0-87814-343-2.
2. Браун, Гленн. «Уравнение Дарси – Вайсбаха». Государственный университет Оклахомы - Стиллуотер.
3. Роуз, Х. (1946). Элементарная механика жидкостей. Джон Вили и сыновья.
4. Incopera, Frank P .; Девитт, Дэвид П. (2002). Основы тепломассообмена (5-е изд.). Джон Вили и сыновья. п. 470 пункт 3.
5. Crowe, Clayton T .; Элгер, Дональд Ф .; Робертсон, Джон А. (2005). Инженерная механика жидкостей (8-е изд.). Джон Вили и сыновья. п. 379; Уравнение 10:23, 10:24, абзац 4.

   ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {f_{\mathrm {D} }}}}=2\log \left(\mathrm {Re} {\sqrt {f_{\mathrm {D} }}}\right)-0.8\quad {\text{for }}\mathrm {Re} >3000.}$

6. Чаудри, М. Х. (2013). Применяемые гидравлические переходные процессы (3-е изд.). Springer. п. 45. ISBN  978-1-4614-8538-4.
7. МакКеон, Б. Дж.; Zagarola, M.V; Смитс, А. Дж. (2005). «Новое соотношение коэффициента трения для полностью развитого трубного потока» (PDF). Журнал гидромеханики. Издательство Кембриджского университета. 538: 429–443. Bibcode:2005JFM ... 538..429M. Дои:10.1017 / S0022112005005501. Получено 25 июн 2016.
8. Никурадсе, Дж. (1933). "Strömungsgesetze in rauen Rohren" (PDF). Форшунгшефт В. Д. И.. Берлин. 361: 1–22. В переводе NACA TM 1292. Данные доступны в цифровая форма.
9. Афзал, Нур (2007). «Фактор трения непосредственно из переходной шероховатости в турбулентном потоке в трубе». Журнал инженерии жидкостей. КАК Я. 129 (10): 1255–1267. Дои:10.1115/1.2776961.
10. Колбрук, К. Ф. (февраль 1939 г.). «Турбулентный поток в трубах, с особым упором на переходную область между законами гладких и грубых труб». Журнал Института инженеров-строителей. Лондон. Дои:10.1680 / ijoti.1939.14509.
11. Шлихтинг, Х. (1955). Теория пограничного слоя. Макгроу-Хилл.
12. Шоклинг, М. А .; Allen, J. J .; Смитс, А. Дж. (2006). «Эффекты шероховатости при турбулентном течении в трубе». Журнал гидромеханики. 564: 267–285. Bibcode:2006JFM ... 564..267S. Дои:10.1017 / S0022112006001467.
13. Langelandsvik, L. I .; Kunkel, G.J .; Смитс, А. Дж. (2008). «Течение в товарной стальной трубе» (PDF). Журнал гидромеханики. Издательство Кембриджского университета. 595: 323–339. Bibcode:2008JFM ... 595..323л. Дои:10.1017 / S0022112007009305. Архивировано из оригинал (PDF) 16 августа 2016 г.. Получено 25 июн 2016.
14. Афзал, Нур (2011). «Погрешность: коэффициент трения непосредственно из переходной шероховатости в турбулентном потоке в трубе». Журнал инженерии жидкостей. КАК Я. 133 (10): 107001. Дои:10.1115/1.4004961.
15. Афзал, Нур; Сина, Абу; Бушра, А. (2013). «Турбулентный поток в трубах, подвергнутых машинной обработке, для больших чисел Рейнольдса: общие законы масштабирования шероховатости». Журнал исследований гидро-окружающей среды. Эльзевир. 7 (1): 81–90. Дои:10.1016 / j.jher.2011.08.002.
16. Браун, Г. О. (2003). "История уравнения Дарси-Вейсбаха для гидравлического сопротивления трубы". В Rogers, J. R .; Фредрих, А. Дж. (Ред.). История окружающей среды и водных ресурсов. Американское общество инженеров-строителей. С. 34–43. ISBN  978-0-7844-0650-2.

дальнейшее чтение

• Де Невер (1970). Механика жидкости. Аддисон-Уэсли. ISBN  0-201-01497-1.
• Shah, R.K .; Лондон, А. Л. (1978). «Принудительная конвекция ламинарных потоков в каналах». Дополнение 1 к достижениям в области теплообмена. Нью-Йорк: Академ.
• Rohsenhow, W. M .; Hartnett, J. P .; Ганич, Э. Н. (1985). Справочник по основам теплообмена (2-е изд.). Книжная компания Макгроу-Хилла. ISBN  0-07-053554-X.

внешняя ссылка

• История уравнения Дарси – Вайсбаха.
• Калькулятор уравнения Дарси – Вайсбаха
• Калькулятор падения давления в трубе для однофазных потоков.
• Калькулятор падения давления в трубе для двухфазных потоков.
• Калькулятор падения давления в трубопроводе с открытым исходным кодом.
• Веб-приложение с расчетом падения давления для труб и воздуховодов