Уравнение Борна – Ланде - Born–Landé equation

В Уравнение Борна – Ланде это средство вычисления энергия решетки кристаллического ионное соединение. В 1918 г.^[1] Макс Борн и Альфред Ланде предположил, что энергия решетки может быть получена из электростатический потенциал ионной решетки и член потенциальной энергии отталкивания.^[2]

${displaystyle E=-{frac {N_{A}Mz^{+}z^{-}e^{2}}{4pi varepsilon _{0}r_{0}}}left(1-{frac {1}{n}}ight)}$

куда:

• N_А = Константа Авогадро;
• M = Постоянная Маделунга, относящиеся к геометрии кристалла;
• z⁺ = числовое число заряда катиона
• z⁻ = числовое число заряда аниона
• е = элементарный заряд, 1.6022×10⁻¹⁹ C
• ε₀ = диэлектрическая проницаемость свободного пространства

  4πε₀ = 1.112×10⁻¹⁰ C²/ (Дж · м)

• р₀ = расстояние до ближайшего иона
• п = Показатель Борна, обычно число от 5 до 12, определяется экспериментально путем измерения сжимаемость твердого тела, или производное теоретически.^[3]

Вывод

Ионная решетка моделируется как сборка твердых упругих сфер, которые сжимаются вместе за счет взаимного притяжения электростатических зарядов к ионам. Они достигают наблюдаемого равновесного расстояния друг от друга из-за уравновешивающего отталкивания на короткие расстояния.

Электростатический потенциал

Электростатическая потенциальная энергия, E_пара, между парой ионов равного и противоположного заряда составляет:

${displaystyle E_{ ext{pair}}=-{frac {z^{2}e^{2}}{4pi epsilon _{0}r}}}$

куда

z = величина заряда на одном ионе

е = элементарный заряд, 1,6022×10⁻¹⁹ C

ε₀ = диэлектрическая проницаемость свободного пространства

4πε₀ = 1.112×10⁻¹⁰ C²/ (Дж · м)

р = расстояние, разделяющее ионные центры

Для простой решетки, состоящей из ионов с равным и противоположным зарядом в соотношении 1: 1, взаимодействия между одним ионом и всеми другими ионами решетки необходимо суммировать для расчета E_M, иногда называемый Маделунг или энергия решетки:

${displaystyle E_{ ext{M}}=-{frac {z^{2}e^{2}M}{4pi epsilon _{0}r}}}$

куда

M = Постоянная Маделунга, что связано с геометрией кристалла

р = ближайшее расстояние между двумя ионами противоположного заряда

Отталкивающий термин

Борн и Ланде предположили, что отталкивающее взаимодействие между ионами решетки будет пропорционально 1/р^п так что член энергии отталкивания, E_р, будет выражено:

${displaystyle E_{ ext{R}}={frac {B}{r^{n}}}}$

куда

B = постоянное масштабирование силы отталкивающего взаимодействия

р = ближайшее расстояние между двумя ионами противоположного заряда

п = Показатель Борна, число от 5 до 12, выражающее крутизну отталкивающего барьера

Общая энергия

Таким образом, полная интенсивная потенциальная энергия иона в решетке может быть выражена как сумма потенциалов Маделунга и отталкивания:

${displaystyle E(r)=-{frac {z^{2}e^{2}M}{4pi epsilon _{0}r}}+{frac {B}{r^{n}}}}$

Минимизация этой энергии по отношению к р дает равновесное разделение р₀ в терминах неизвестной постоянной B:

${displaystyle {egin{aligned}{frac {mathrm {d} E}{mathrm {d} r}}&={frac {z^{2}e^{2}M}{4pi epsilon _{0}r^{2}}}-{frac {nB}{r^{n+1}}}�&={frac {z^{2}e^{2}M}{4pi epsilon _{0}r_{0}^{2}}}-{frac {nB}{r_{0}^{n+1}}} _{0}&=left({frac {4pi epsilon _{0}nB}{z^{2}e^{2}M}}ight)^{frac {1}{n-1}}B&={frac {z^{2}e^{2}M}{4pi epsilon _{0}n}}r_{0}^{n-1}end{aligned}}}$

Оценивая минимальную интенсивную потенциальную энергию и подставляя выражение для B с точки зрения р₀ дает уравнение Борна – Ланде:

${displaystyle E(r_{0})=-{frac {Mz^{2}e^{2}}{4pi epsilon _{0}r_{0}}}left(1-{frac {1}{n}}ight)}$

Расчетные энергии решетки

Уравнение Борна – Ланде дает представление об энергии решетки системы.^[2]

Сложный	Рассчитано	Экспериментальный
NaCl	−756 кДж / моль	−787 кДж / моль
LiF	−1007 кДж / моль	−1046 кДж / моль
CaCl2	−2170 кДж / моль	−2255 кДж / моль

Родился экспонент

Показатель Борна обычно составляет от 5 до 12. Приблизительные экспериментальные значения перечислены ниже:^[4]

Ионная конфигурация	Он	Ne	Ar, Cu^+	Kr, Ag^+	Xe, Au^+
п	5	7	9	10	12

Смотрите также

• Уравнение капустинского
• Уравнение Борна – Майера

Рекомендации

1. Браун, И. Дэвид (2002). Химическая связь в неорганической химии: модель валентности связи (Перепечатка. Ред.). Нью-Йорк: Oxford University Press. ISBN  0-19-850870-0.
2. Джонсон, Открытый университет; RSC; под редакцией Дэвида (2002). Металлы и химические изменения (1-е изд.). Кембридж: Королевское химическое общество. ISBN  0-85404-665-8.
3. Коттон, Ф. Альберт; Уилкинсон, Джеффри (1980), Продвинутая неорганическая химия (4-е изд.), Нью-Йорк: Wiley, ISBN  0-471-02775-8
4. "Энергия решетки" (PDF).