Модель Брэдли – Терри - Bradley–Terry model

В Модель Брэдли – Терри это вероятностная модель который может предсказать результат парного сравнения. Учитывая пару человек я и j взяты из некоторых численность населения, он оценивает вероятность того, что попарное сравнение я > j оказывается правдой, поскольку

${\displaystyle P(i>j)={\frac {p_{i}}{p_{i}+p_{j}}}}$

куда п_я положительный ценный оценка, присвоенная индивиду я. Сравнение я > j можно читать как "я предпочтительнее j", "я занимает выше, чем j", или же "я удары j", в зависимости от приложения.

Например, п_я может отражать мастерство команды в спортивном турнире, рассчитанное по количеству раз я выиграл матч. ${\displaystyle P(i>j)}$ тогда представляет вероятность того, что я выиграет матч против j.^[1][2] Другой пример, используемый для объяснения цели модели, - это оценка продуктов в определенной категории по качеству. Хотя человеку сложно составить прямой рейтинг (многих) марок вина, возможно, будет целесообразно сравнить образцы пар вин и сказать для каждой пары, какой из них лучше. Затем можно использовать модель Брэдли – Терри для получения полного рейтинга.^[2]

История и приложения

Модель названа в честь Р. А. Брэдли и М. Э. Терри,^[3] который представил его в 1952 году,^[4] хотя это уже было изучено Цермело в 1920-е гг.^[1][5][6]

Реальные приложения модели включают оценку влияния статистический журналы, или ранжирование документов по релевантности в машинно обученный поисковые системы.^[7]В последнем приложении ${\displaystyle P(i>j)}$ может отражать этот документ я более актуален для пользователя запрос чем документ j, поэтому он должен отображаться раньше в списке результатов. Человек п_я затем выразить релевантность документа, и ее можно оценить по частоте, с которой пользователи щелкают определенные «совпадения», когда им представлен список результатов.^[8]

Определение

Модель Брэдли – Терри можно параметризовать различными способами. Один из способов сделать это - выбрать один параметр для каждого наблюдения, что приведет к модели п параметры п₁, ..., п_п.^[9]Другой вариант, фактически версия, рассмотренная Брэдли и Терри,^[2] использует экспоненциальные функции оценки ${\displaystyle p_{i}=e^{\beta _{i}}}$ так что

${\displaystyle P(i>j)={\frac {e^{\beta _{i}}}{e^{\beta _{i}}+e^{\beta _{j}}}}}$

или, используя логит (и запрещая связи),^[1]

${\displaystyle \operatorname {logit} (P(i>j))=\log \left({\frac {P(i>j)}{1-P(i>j)}}\right)=\log \left({\frac {P(i>j)}{P(j>i)}}\right)=\beta _{i}-\beta _{j}}$

сокращение модели до логистическая регрессия на пары особей.

Оценка параметров

Следующее алгоритм вычисляет параметры п_я базовой версии модели по выборке наблюдений. Формально он вычисляет оценка максимального правдоподобия, т.е. максимизирует вероятность наблюдаемых данных. Алгоритм восходит к работе Цермело.^[1]

Требуемые наблюдения являются результатами предыдущих сравнений, например, пары (я, j) куда я удары j. Обобщая эти результаты как ш_ij, количество раз я избил j, получаем логарифмическая вероятность вектора параметров п = п₁, ..., п_п в качестве^[1]

${\displaystyle L(\mathbf {p} )=\sum _{i}^{n}\sum _{j}^{n}w_{ij}\ln p_{i}-w_{ij}\ln(p_{i}+p_{j}).}$

Обозначим количество "выигранных" сравнений я в качестве W_я. Начиная с произвольного вектора п, алгоритм итеративно выполняет обновление

${\displaystyle p'_{i}=W_{i}\left(\sum _{j\neq i}{\frac {w_{ij}+w_{ji}}{p_{i}+p_{j}}}\right)^{-1}}$

для всех я. После вычисления всех новых параметров их следует перенормировать,

${\displaystyle p_{i}\leftarrow {\frac {p'_{i}}{\sum _{j=1}^{n}p'_{j}}}.}$

Эта процедура оценки улучшает логарифмическую вероятность на каждой итерации и в конечном итоге сходится к уникальному максимуму.

Смотрите также

• Порядковая регрессия
• Модель раша
• Масштаб (общественные науки)
• Система рейтинга Эло
• Терстонская модель

Рекомендации

1. Хантер, Дэвид Р. (2004). «ММ-алгоритмы для обобщенных моделей Брэдли – Терри». Анналы статистики. 32 (1): 384–406. CiteSeerX  10.1.1.110.7878. Дои:10.1214 / aos / 1079120141. JSTOR  3448514.
2. Агрести, Алан (2014). Категориальный анализ данных. Джон Вили и сыновья. С. 436–439.
3. E.E.M. ван Беркум. «Модель Брэдли-Терри». Энциклопедия математики. Получено 18 ноября 2014.
4. Брэдли, Ральф Аллан; Терри, Милтон Э. (1952). «Ранговый анализ неполных блочных конструкций: I. Метод парных сравнений». Биометрика. 39 (3/4): 324–345. Дои:10.2307/2334029. JSTOR  2334029.
5. Цермело, Эрнст (1929). "Die Berechnung der Turnier-Ergebnisse als ein Maximumproblem der Wahrscheinlichkeitsrechnung". Mathematische Zeitschrift. 29 (1): 436–460. Дои:10.1007 / BF01180541.
6. Хайнц-Дитер Эббингаус (2007), Эрнст Цермело: подход к своей жизни и работе, стр. 268–269, ISBN  9783540495536
7. Шуммер, Мартин; Йилмаз, Эмине (2011). Полу-контролируемое обучение ранжированию с регуляризацией предпочтений (PDF). CIKM.
8. Радлински, Филип; Иоахимс, Торстен (2007). Активное исследование для определения рейтинга на основе данных по переходам (PDF). KDD '07 Материалы 13-й международной конференции ACM SIGKDD по обнаружению знаний и интеллектуальному анализу данных. С. 570–579. Дои:10.1145/1281192.1281254.
9. Фанчжао Ву; Цзюнь Сюй; Ханг Ли; Синь Цзян (2014). Оптимизация ранжирования с ограничениями. CIKM '14 Труды 23-й Международной конференции ACM по управлению информацией и знаниями. С. 1049–1058. Дои:10.1145/2661829.2661895.