Пламя Берка – Шумана - Burke–Schumann flame - Wikipedia

В горение, а Пламя Берка – Шумана это тип диффузионное пламя, установленный в устье двух концентрических каналов, путем выпуска топлива и окислителя из двух областей соответственно. Он назван в честь С.П. Берка и Т.Е.У. Шуман,^[1][2] которые смогли предсказать высоту и форму пламени, используя свой простой анализ бесконечно быстрой химии (которая теперь называется Предел Берка – Шумана ) в 1928 г. Первый симпозиум по горению.

Математическое описание^[3][4]

Рассмотрим цилиндрический воздуховод с осью вдоль ${\displaystyle z}$ направление с радиусом ${\displaystyle a}$ по которой топливо подается снизу, а горловина трубки расположена на ${\displaystyle z=0}$. Окислитель подается по той же оси, но в концентрическую трубку радиусом ${\displaystyle b}$ за пределами топливной трубки. Пусть массовая доля в топливной трубке быть ${\displaystyle Y_{Fo}}$ и массовая доля кислорода во внешнем канале ${\displaystyle Y_{Oo}}$. Смешивание топлива и кислорода происходит в районе ${\displaystyle z>0}$. При анализе были сделаны следующие допущения:

• Средняя скорость параллельна оси (${\displaystyle z}$ направление) воздуховодов, ${\displaystyle \mathbf {v} =v\mathbf {e} _{z}}$
• Поток массы в осевом направлении постоянен, ${\displaystyle \rho v=\mathrm {constant} }$
• Осевая диффузия незначительна по сравнению с поперечной / радиальной диффузией.
• Пламя возникает бесконечно быстро (Предел Берка – Шумана ), поэтому пламя выглядит как лист реакции через какие свойства потока изменяются
• Эффектом гравитации пренебрегали

Считайте одноэтапный необратимый Закон Аррениуса, ${\displaystyle \mathrm {Fuel} +s\mathrm {O} _{2}\rightarrow (1+s)\mathrm {Products} +q}$, куда ${\displaystyle s}$ масса кислорода, необходимая для сжигания единицы массы топлива и ${\displaystyle q}$ количество тепла, выделяемого на единицу массы сожженного топлива. Если ${\displaystyle \omega }$ - количество молей топлива, сожженных на единицу объема в единицу времени с учетом безразмерной доли топлива и массы, а также параметра стехиометрии,

${\displaystyle y_{F}={\frac {Y_{F}}{Y_{Fo}}},\quad y_{O}={\frac {Y_{O}}{Y_{Oo}}},\quad S={\frac {sY_{Fo}}{Y_{Oo}}}}$

управляющие уравнения для массовой доли топлива и окислителя сводятся к

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\rho D_{T}}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial y_{F}}{\partial r}}\right)-\rho v{\frac {\partial y_{F}}{\partial z}}={\frac {\omega }{Y_{Fo}}}\\{\frac {\rho D_{T}}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial y_{O}}{\partial r}}\right)-\rho v{\frac {\partial y_{O}}{\partial z}}=S{\frac {\omega }{Y_{Fo}}}\\\end{aligned}}}$

куда Число Льюиса обоих видов предполагается равным единству и ${\displaystyle \rho D_{T}}$ считается постоянной, где ${\displaystyle D_{T}}$ это температуропроводность. Граничные условия для задачи:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{at}}\,&z=0,\,0<r<a,\,y_{F}=1,\,y_{O}=0,\\{\text{at}}\,&z=0,\,a<r<b,\,y_{F}=0,\,y_{O}=1,\\{\text{at}}\,&r=b,\,0<z<\infty ,\,{\frac {\partial y_{F}}{\partial r}}=0,\,{\frac {\partial y_{O}}{\partial r}}=0.\end{aligned}}}$

Уравнение можно линейно объединить, чтобы исключить нелинейный член реакции ${\displaystyle \omega /Y_{Fo}}$ и решите для новой переменной

${\displaystyle Z={\frac {Sy_{F}-y_{O}+1}{S+1}}}$,

куда ${\displaystyle Z}$ известен как фракция смеси. Доля смеси принимает значение, равное единице в потоке топлива и нулю в потоке окислителя, и это скалярное поле, на которое реакция не влияет. Уравнение, которому удовлетворяет ${\displaystyle Z}$ является

${\displaystyle {\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial Z}{\partial r}}\right)-{\frac {\rho v}{\rho D_{T}}}{\frac {\partial Z}{\partial z}}=0.}$

Представляем следующее преобразование координат

${\displaystyle \xi ={\frac {r}{b}},\quad \eta ={\frac {\rho D_{T}}{\rho v}}{\frac {z}{b^{2}}},\quad c={\frac {a}{b}}}$

сводит уравнение к

${\displaystyle {\frac {1}{\xi }}{\frac {\partial }{\partial \xi }}\left(\xi {\frac {\partial Z}{\partial \xi }}\right)-{\frac {\partial Z}{\partial \eta }}=0.}$

Соответствующие граничные условия принимают вид

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{at}}\,&\eta =0,\,0<\xi <c,\,Z=1,\\{\text{at}}\,&\eta =0,\,c<\xi <1,\,Z=0,\\{\text{at}}\,&\xi =1,\,0<\eta <\infty ,\,{\frac {\partial Z}{\partial \xi }}=0.\end{aligned}}}$

Уравнение может быть решено разделением переменных

${\displaystyle Z(\xi ,\eta )=c^{2}+2c\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{\lambda _{n}}}{\frac {J_{1}(c\lambda _{n})}{J_{0}^{2}(\lambda _{n})}}J_{0}(\lambda _{n}\xi )e^{-\lambda _{n}^{2}\eta }}$

куда ${\displaystyle J_{0}}$ и ${\displaystyle J_{1}}$ являются Функция Бесселя первого рода и ${\displaystyle \lambda _{n}}$ является корнем n-й степени из ${\displaystyle J_{1}(\lambda )=0.}$ Решение также может быть получено для плоских каналов вместо осесимметричных каналов, обсуждаемых здесь.

Форма и высота пламени

в Предел Берка-Шумана, пламя рассматривается как тонкий реакционный слой, вне которого и топливо, и кислород не могут существовать вместе, т.е. ${\displaystyle y_{F}y_{O}=0}$. Сам реакционный лист расположен у стехиометрической поверхности, где ${\displaystyle Sy_{F}=y_{O}}$, другими словами, где

${\displaystyle Z=Z_{s}\equiv {\frac {1}{S+1}}}$

куда ${\displaystyle Z_{s}}$ - стехиометрическая фракция смеси. Лист реакции разделяет области топлива и окислителя. Внутренняя структура реакционного листа описывается Уравнение Линьяна. На топливной стороне реакционного листа (${\displaystyle Z>Z_{s}}$)

${\displaystyle y_{F}={\frac {Z-Z_{s}}{1-Z_{s}}},\,y_{O}=0}$

и со стороны окислителя (${\displaystyle Z<Z_{s}}$)

${\displaystyle y_{F}=0,\,y_{O}=1-{\frac {Z}{Z_{s}}}.}$

Для заданных значений ${\displaystyle Z_{s}}$ (или же, ${\displaystyle S}$) и ${\displaystyle c}$, форма пламени задается условием ${\displaystyle Z(\xi ,\eta )=Z_{s}}$, т.е.

${\displaystyle Z_{s}=c^{2}+2c\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{\lambda _{n}}}{\frac {J_{1}(c\lambda _{n})}{J_{0}^{2}(\lambda _{n})}}J_{0}(\lambda _{n}\xi )e^{-\lambda _{n}^{2}\eta }.}$

Когда ${\displaystyle Z_{s}\rightarrow 0}$ (${\displaystyle S\rightarrow \infty }$), пламя выходит из устья внутренней трубы и прикрепляется к внешней трубе на определенной высоте (недостаточно вентилируемый корпус) и когда ${\displaystyle Z_{s}\rightarrow 1}$ (${\displaystyle S\rightarrow 0}$), пламя начинается от устья внутренней трубы и присоединяется к оси на некоторой высоте от устья (вентилируемый корпус). В общем, высоту пламени получают путем решения для ${\displaystyle \eta }$ в приведенном выше уравнении после установки ${\displaystyle \xi =1}$ для недостаточно вентилируемого корпуса и ${\displaystyle \xi =0}$ для слишком вентилируемого корпуса.

Поскольку высота пламени обычно велика, и экспоненциальными членами ряда можно пренебречь, в первом приближении высоту пламени можно оценить, сохранив только первый член ряда. Это приближение предсказывает высоту пламени для обоих случаев следующим образом.

${\displaystyle {\begin{aligned}\eta &={\frac {1}{\lambda _{1}^{2}}}\ln \left[{\frac {2cJ_{1}(c\lambda _{1})}{(Z_{s}-c^{2})\lambda _{1}J_{0}(\lambda _{1})}}\right],\quad {\text{under-ventilated}}\\\eta &={\frac {1}{\lambda _{1}^{2}}}\ln \left[{\frac {2cJ_{1}(c\lambda _{1})}{(Z_{s}-c^{2})\lambda _{1}J_{0}^{2}(\lambda _{1})}}\right],\quad {\text{over-ventilated}},\end{aligned}}}$

куда ${\displaystyle \lambda _{1}=3.8317.}$

Рекомендации

1. Берк, С. П., и Т. Э. У. Шуман. «Распространение пламени». Промышленная и инженерная химия 20.10 (1928): 998–1004.
2. Зельдович И.А., Баренблатт Г.И., Либрович В.Б. и Махвиладзе Г.М. (1985). Математическая теория горения и взрыва.
3. Уильямс, Ф.А. (2018). Теория горения. CRC Press.
4. Уильямс, Ф.А. (1965). Теория горения: фундаментальная теория проточных систем с химическими реакциями. Эддисон-Уэсли.