Кольцо Burnside - Burnside ring

В математика, то Кольцо Burnside из конечная группа представляет собой алгебраическую конструкцию, которая кодирует различные способы, которыми группа может действовать на конечных множествах. Идеи были представлены Уильям Бернсайд в конце девятнадцатого века. Алгебраический кольцевая структура это более поздняя разработка, благодаря Соломону (1967).

Формальное определение

Учитывая конечная группа грамм, генераторы его кольца Бернсайда Ω(грамм) - формальные разности классов изоморфизма конечных грамм-наборы. Для кольцевая структура, сложение дается несвязный союз из грамм-множества и умножение на их Декартово произведение.

Кольцо Бернсайда - бесплатное Z-модуль, образующие которого являются (классами изоморфизма) типы орбит из грамм.

Если грамм действует на конечном множестве Икс, тогда можно написать ${displaystyle X = igcup _ {i} X_ {i}}$ (несвязное объединение), где каждый Икс_я один грамм-орбита. Выбираем любой элемент Икс_я в Икс_я создает изоморфизм грамм/грамм_я → Икс_я, куда грамм_я стабилизирующая (изотропная) подгруппа группы грамм в Икс_я. Другой выбор представителя у_я в Икс_я дает сопряженную подгруппу грамм_я как стабилизатор. Это показывает, что генераторы Ω (G) как Z-модуль - это орбиты грамм/ЧАС в качестве ЧАС колеблется над классы сопряженности подгрупп грамм.

Другими словами, типичный элемент Ω(грамм) является

{displaystyle sum _ {i = 1} ^ {N} a_ {i} [G / G_ {i}],}

куда а_я в Z и грамм₁, грамм₂, ..., грамм_N являются представителями классов сопряженности подгрупп группы грамм.

Метки

Во многом как теория характера упрощает работу с групповые представления, Метки упростить работу с перестановочные представления и кольцо Бернсайда.

Если грамм действует на Икс, и ЧАС ≤ грамм (ЧАС это подгруппа из грамм), то отметка из ЧАС на Икс количество элементов Икс которые фиксируются каждым элементом ЧАС: ${displaystyle m_ {X} (H) = left | X ^ {H} ight |}$ , куда

{displaystyle X ^ {H} = {xin Xmid hcdot x = x, forall hin H}.}

Если ЧАС и K сопряженные подгруппы, то м_Икс(ЧАС) = м_Икс(K) для любого конечного грамм-набор Икс; действительно, если K = gHg⁻¹ тогда Икс^K = грамм · Икс^ЧАС.

Также легко увидеть, что для каждого ЧАС ≤ грамм, карта Ω(грамм) → Z : Икс ↦ м_Икс(ЧАС) является гомоморфизмом. Это означает, что знать знаки грамм, достаточно оценить их на генераторах Ω(грамм), а именно орбиты грамм/ЧАС.

Для каждой пары подгрупп ЧАС,K ≤ грамм определять

{displaystyle m (K, H) = left | [G / K] ^ {H} ight | = # left {gKin G / Kmid HgK = gKight}.}

Это м_Икс(ЧАС) за Икс = грамм/K. Условие HgK = gK эквивалентно грамм⁻¹Hg ≤ K, так что если ЧАС не сопряжена с подгруппой K тогда м(K, ЧАС) = 0.

Для записи всех возможных оценок составляется таблица Бернсайда. Таблица оценок, следующим образом: Пусть грамм₁ (= тривиальная подгруппа), грамм₂, ..., грамм_N = грамм быть представителями N классы сопряженности подгрупп грамм, заказанный таким образом, чтобы грамм_я сопряжена подгруппе грамм_j, тогда я ≤ j. Теперь определим N × N таблица (квадратная матрица), у которой (я, j) -я запись м(грамм_я, грамм_j). Эта матрица имеет нижнюю треугольную форму, а элементы на диагонали ненулевые, поэтому она обратима.

Отсюда следует, что если Икс это грамм-set и ты вектор-строка меток, поэтому ты_я = м_Икс(грамм_я), тогда Икс разлагается как несвязный союз из а_я копии орбиты типа грамм_я, где вектор а удовлетворяет,

аM = ты,

куда M - матрица таблицы оценок. Эта теорема связана с (Бернсайд 1897 ).

Примеры

Таблица оценок для циклической группы порядка 6:

Z₆	1	Z₂	Z₃	Z₆
Z₆ / 1	6	.	.	.
Z₆ / Z₂	3	3	.	.
Z₆ / Z₃	2	0	2	.
Z₆ / Z₆	1	1	1	1

Таблица оценок для симметричной группы S₃:

S₃	1	Z₂	Z₃	S₃
S₃ / 1	6	.	.	.
S₃ / Z₂	3	1	.	.
S₃ / Z₃	2	0	2	.
S₃ / S₃	1	1	1	1

Все точки в двух таблицах - нули, просто подчеркивая тот факт, что таблицы имеют нижнюю треугольную форму.

(Некоторые авторы используют транспонирование таблицы, но именно так Бернсайд определил его изначально.)

Тот факт, что последняя строка состоит из единиц, объясняется тем, что [грамм/грамм] - это одна точка. Диагональные члены м(ЧАС, ЧАС) = | N_грамм(ЧАС)/ЧАС |, Цифры в первом столбце показывают степень представления.

Кольцевая структура Ω(грамм) можно вывести из этих таблиц: образующие кольца (как Z-модуль) - это строки таблицы, а произведение двух генераторов имеет отметку, заданную произведением отметок (то есть покомпонентное умножение векторов-строк), которые затем могут быть разложены как линейная комбинация всех строк. Например, с S₃,

{displaystyle [G / mathbf {Z} _ {2}] cdot [G / mathbf {Z} _ {3}] = [G / 1],}

как (3, 1, 0, 0). (2, 0, 2, 0) = (6, 0, 0, 0).

Представления перестановок

Связано с любым конечным множеством Икс это векторное пространство V = V_Икс, представляющее собой векторное пространство с элементами Икс за основу (используя любое указанное поле). Действие конечной группы грамм на Икс индуцирует линейное действие на Vназывается перестановкой представление. Множество всех конечномерных представлений грамм имеет структуру кольца, представительное кольцо, обозначенный R (G).

Для данного грамм-набор Икс, то персонаж ассоциированного представления

{displaystyle chi (g) = m_ {X} (langle gangle)}

куда ${displaystyle langle gangle}$ циклическая группа, порожденная ${displaystyle g}$ .

Полученная карта

{displaystyle eta: Omega (G) longrightarrow R (G)}

принимая грамм-множество соответствующего представления, вообще говоря, не является ни инъективным, ни сюръективным.

Самый простой пример, показывающий, что β, вообще говоря, не инъективен, - это G = S₃ (см. таблицу выше) и определяется как

{displaystyle eta (2 [S_ {3} / mathbf {Z} _ {2}] + [S_ {3} / mathbf {Z} _ {3}]) = eta ([S_ {3}] + 2 [S_ {3} / S_ {3}]).}

Расширения

Кольцо Бернсайда для компактные группы описан в (Том Дик 1987 ).

В Гипотеза Сигала связывает кольцо Бернсайда с гомотопия.

Смотрите также

Категория Бернсайда