Категория Бернсайда - Burnside category
В теория категорий и теория гомотопии то Категория Бернсайда из конечная группа грамм категория, объекты которой конечны грамм-наборы и морфизмы которых (классы эквивалентности) пролеты из грамм-эквивариантные отображения. Это категоризация Кольцо Burnside из грамм.
Определения
Позволять грамм конечной группой (на самом деле все будет работать дословно для проконечная группа ). Тогда для любых двух конечных грамм-наборы Икс и Y мы можем определить отношение эквивалентности между промежутками грамм-наборы формы где два пролета и эквивалентны тогда и только тогда, когда существует грамм-эквивариантная биекция U и W коммутируя с проекционными картами в Икс и Y. Этот набор классов эквивалентности естественным образом образует моноид при дизъюнктном объединении; мы указываем с помощью то завершение группы этого моноида. Откаты порождают естественные карты .
Наконец, мы можем определить Категория Бернсайда А (G) из грамм как категория, объекты которой конечны грамм-множества и пространства морфизмов - это группы .
Характеристики
- А (G) является аддитивная категория с прямыми суммами, заданными несвязным объединением грамм-установки и нулевой объект, заданный пустым грамм-набор;
- Произведение двух грамм-множества индуцирует симметричную моноидальную структуру на А (G);
- Кольцо эндоморфизмов точки (т.е. грамм-набор только с одним элементом) является Кольцо Burnside из грамм;
- А (G) эквивалентна полной подкатегории гомотопической категории подлинных грамм-спектры, натянутые на подвесные спектры конечных грамм-наборы.
Функторы Макки
Если C является аддитивная категория, затем C-ценный Функтор макки является аддитивным функтором из А (G) к C. Функторы Макки важны в теории представлений и стабильной эквивариантной теории гомотопий.
- Каждому грамм-представление V мы можем связать функтор Макки в векторных пространствах, посылающий каждому конечному грамм-набор U в векторное пространство грамм-эквивариантные отображения из U к V.
- Гомотопические группы подлинный грамм-спектр образуют функтор Макки. На самом деле подлинный грамм-spectra можно рассматривать как аддитивный функтор для более высокой категориальной версии категории Бернсайда.