CM-поле - CM-field

В математика, а CM-поле это особый тип числовое поле, названный так в связи с тесной связью с теорией комплексное умножение. Другое используемое имя J-поле.

Аббревиатура «CM» была введена (Шимура и Танияма 1961 ).

Формальное определение

Числовое поле K является CM-полем, если это квадратичное расширение K/F где базовое поле F является полностью реальный но K является полностью воображаемый. То есть каждое вложение F в ${displaystyle mathbb {C} }$ полностью лежит внутри ${displaystyle mathbb {R} }$, но нет вложения K в ${displaystyle mathbb {R} }$.

Другими словами, есть подполе F из K такой, что K генерируется над F одним квадратным корнем из элемента, скажем β = ${displaystyle {sqrt {alpha }}}$, таким образом, что минимальный многочлен β над поле рациональных чисел ${displaystyle mathbb {Q} }$ имеет все свои корни не действительные комплексные числа. Для этого следует выбрать α полностью отрицательный, так что для каждого вложения σ ${displaystyle K'}$ в поле действительных чисел, σ (α) <0.

Характеристики

Одна из особенностей CM-поля заключается в том, что комплексное сопряжение на ${displaystyle mathbb {C} }$ индуцирует на поле автоморфизм, не зависящий от его вложения в ${displaystyle mathbb {C} }$. В приведенных обозначениях он должен изменить знак β.

Числовое поле K является CM-полем тогда и только тогда, когда оно имеет "дефект единиц", т.е. если оно содержит собственное подполе F чья группа единиц имеет такую ​​же ${displaystyle mathbb {Z} }$-в рейтинге K (Ремак 1954 г. ). Фактически, F это полностью реальное подполе K упомянутый выше. Это следует из Теорема Дирихле о единицах.

Примеры

• Самый простой и мотивирующий пример CM-поля - это мнимое квадратичное поле, для которого вполне реальное подполе является просто полем рациональных чисел.
• Одним из наиболее важных примеров CM-поля является круговое поле ${displaystyle mathbb {Q} (zeta _{n})}$, который порождается примитивным n-м корень единства. Это совершенно выдуманный квадратичное расширение из полностью реальное поле ${displaystyle mathbb {Q} (zeta _{n}+zeta _{n}^{-1}).}$ Последнее является фиксированным полем комплексное сопряжение, и ${displaystyle mathbb {Q} (zeta _{n})}$ получается из него добавлением квадратного корня из ${displaystyle zeta _{n}^{2}+zeta _{n}^{-2}-2=(zeta _{n}-zeta _{n}^{-1})^{2}.}$
• Союз Q^СМ всех полей CM похоже на поле CM, за исключением того, что оно имеет бесконечную степень. Это квадратичное расширение объединения всех вполне вещественных полей. Q^р. В абсолютная группа Галуа Гал (Q/Q^р) порождается (как замкнутая подгруппа) всеми элементами порядка 2 из Gal (Q/Q) и Гал (Q/Q^СМ) является подгруппой индекса 2. Группа Галуа Gal (Q^СМ/Q) имеет центр, порожденный элементом порядка 2 (комплексное сопряжение), а фактор по его центру - это группа Gal (Q^р/Q).
• Если V является сложным абелевым многообразием размерности п, то любая абелева алгебра F эндоморфизмов V имеет ранг не выше 2п над Z. Если имеет ранг 2п и V тогда просто F это заказ в CM-поле. И наоборот, любое поле CM возникает таким образом из некоторого простого сложного абелевого многообразия, уникального до изогении.
• Одним из примеров полностью воображаемого поля, которое не является CM, является числовое поле, определяемое полиномом ${displaystyle x^{4}+x^{3}-x^{2}-x+1}$.

Рекомендации

• Ремак, Роберт (1954), "Über algebraische Zahlkörper mit schwachem Einheitsdefekt", Compositio Mathematica (на немецком), 12: 35–80, Zbl  0055.26805
• Шимура, Горо (1971), Введение в арифметическую теорию автоморфных функций, Публикации Математического общества Японии, 11, Принстон, штат Нью-Джерси: Princeton University Press
• Шимура, Горо; Танияма, Ютака (1961), Комплексное умножение абелевых многообразий и его приложения в теории чисел, Публикации Математического общества Японии, 6, Токио: Математическое общество Японии, МИСТЕР  0125113
• Вашингтон, Лоуренс К. (1996). Введение в циклотомические поля (2-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN  0-387-94762-0. Zbl  0966.11047.