Карл Йохан Мальмстен - Carl Johan Malmsten

Карл Мальмстен
Родился	Карл Йохан Мальмстен (1814-04-09)9 апреля 1814 г. Скара, Швеция
Умер	11 февраля 1886 г.(1886-02-11) (71 год) Упсала, Швеция
оккупация	Математик, политик

Карл Йохан Мальмстен (9 апреля 1814 г. в Уддеторпе, уезд Скара, Швеция - 11 февраля 1886 г. в г. Упсала, Швеция) был шведским математиком и политиком. Он известен ранними исследованиями^[1] в теорию функций комплексная переменная, для оценки нескольких важных логарифмические интегралы и серии за его исследования по теории рядов и интегралов, связанных с дзета-функцией, а также за помощь Mittag-Leffler начать журнал Acta Mathematica.^[2]

Мальмстен стал Доцент в 1840 г., а затем профессором математики Уппсальского университета в 1842 г. Он был избран членом Шведская королевская академия наук в 1844 г. Он также был министром без портфеля в 1859–1866 гг. и губернатором округа Скараборг в 1866–1879 гг.

Основные вклады

Обычно Мальмстен известен своими более ранними работами по комплексному анализу.^[1] Однако он также внес большой вклад в другие области математики, но его результаты были незаслуженно забыты, и многие из них были ошибочно приписаны другим людям. Так, сравнительно недавно он был открыт Ярославом Благушиным.^[3] что Мальмстен был первым, кто вычислил несколько важных логарифмических интегралов и рядов, которые тесно связаны с гамма- и дзета-функции, и среди которых можно найти так называемые Интеграл Варди и Куммера для логарифма гамма-функции. В частности, в 1842 г. он вычислил следующие lnln-логарифмические интегралы

${displaystyle int _{0}^{1}!{frac {,ln ln {frac {1}{x}},}{1+x^{2}}},dx,=,int _{1}^{infty }!{frac {,ln ln {x},}{1+x^{2}}},dx,=,{frac {pi }{,2,}}ln left{{frac {Gamma {(3/4)}}{Gamma {(1/4)}}}{sqrt {2pi ,}}ight}}$

${displaystyle int _{0}^{1}{frac {ln ln {frac {1}{x}}}{(1+x)^{2}}},dx=int limits _{1}^{infty }!{frac {ln ln {x}}{(1+x)^{2}}},dx={frac {1}{2}}{igl (}ln pi -ln 2-gamma {igr )},}$

${displaystyle int limits _{0}^{1}!{frac {ln ln {frac {1}{x}}}{1-x+x^{2}}},dx=int _{1}^{infty }!{frac {ln ln {x}}{1-x+x^{2}}},dx={frac {2pi }{sqrt {3}}}ln {iggl {}{frac {sqrt[{6}]{32pi ^{5}}}{Gamma {(1/6)}}}{iggr }}}$

${displaystyle int limits _{0}^{1}!{frac {ln ln {frac {1}{x}}}{1+x+x^{2}}},dx=int limits _{1}^{infty }!{frac {ln ln {x}}{1+x+x^{2}}},dx={frac {pi }{sqrt {3}}}ln {iggl {}{frac {Gamma {(2/3)}}{Gamma {(1/3)}}}{sqrt[{3}]{2pi }}{iggr }}}$

${displaystyle int limits _{0}^{1}!{frac {ln ln {frac {1}{x}}}{1+2xcos varphi +x^{2}}},dx,=int limits _{1}^{infty }!{frac {ln ln {x}}{1+2xcos varphi +x^{2}}},dx={frac {pi }{2sin varphi }}ln left{{frac {(2pi )^{frac {scriptstyle varphi }{scriptstyle pi }},Gamma !left(!displaystyle {frac {1}{,2,}}+{frac {varphi }{,2pi ,}}!ight)}{Gamma !left(!displaystyle {frac {1}{,2,}}-{frac {varphi }{,2pi ,}}!ight)}}ight},qquad -pi <varphi <pi }$

${displaystyle int limits _{0}^{1}!{frac {x^{n-2}ln ln {frac {1}{x}}}{1-x^{2}+x^{4}-cdots +x^{2n-2}}},dx,=int limits _{1}^{infty }!{frac {x^{n-2}ln ln {x}}{1-x^{2}+x^{4}-cdots +x^{2n-2}}},dx=}$

${displaystyle quad =,{frac {pi }{,2n,}}sec {frac {,pi ,}{2n}}!cdot ln pi +{frac {pi }{,n,}}cdot !!!!!!sum _{l=1}^{;;{frac {1}{2}}(n-1)}!!!!(-1)^{l-1}cos {frac {,(2l-1)pi ,}{2n}}cdot ln left{!{frac {Gamma !left(1-displaystyle {frac {2l-1}{2n}}ight)}{Gamma !left(displaystyle {frac {2l-1}{2n}}ight)}}ight},qquad n=3,5,7,ldots }$

${displaystyle int limits _{0}^{1}!{frac {x^{n-2}ln ln {frac {1}{x}}}{1+x^{2}+x^{4}+cdots +x^{2n-2}}},dx,=int limits _{1}^{infty }!{frac {x^{n-2}ln ln {x}}{1+x^{2}+x^{4}+cdots +x^{2n-2}}},dx=}$

${displaystyle qquad ={egin{cases}displaystyle {frac {,pi ,}{2n}} an {frac {,pi ,}{2n}}ln 2pi +{frac {pi }{n}}sum _{l=1}^{n-1}(-1)^{l-1}sin {frac {,pi l,}{n}}cdot ln left{!{frac {Gamma !left(!displaystyle {frac {1}{,2,}}+displaystyle {frac {l}{,2n}}!ight)}{Gamma !left(!displaystyle {frac {l}{,2n}}!ight)}}ight},quad n=2,4,6,ldots [10mm]displaystyle {frac {,pi ,}{2n}} an {frac {,pi ,}{2n}}ln pi +{frac {pi }{n}}!!!!!sum _{l=1}^{;;;{frac {1}{2}}(n-1)}!!!!(-1)^{l-1}sin {frac {,pi l,}{n}}cdot ln left{!{frac {Gamma !left(1-displaystyle {frac {,l}{n}}!ight)}{Gamma !left(!displaystyle {frac {,l}{n}}!ight)}}ight},qquad n=3,5,7,ldots end{cases}}}$

Детали и интересный исторический анализ даны в статье Благушина.^[3]Многие из этих интегралов позже были переоткрыты различными исследователями, включая Варди,^[4] Адамчик,^[5] Медина^[6] и Молл.^[7] Более того, некоторые авторы даже назвали первый из этих интегралов в честь Варди, который пересмотрел его в 1988 г. (они называют его Интеграл Варди), как и многие известные интернет-ресурсы, такие как сайт Wolfram MathWorld.^[8] или сайт OEIS Foundation^[9] (с учетом несомненного приоритета Мальмстена при вычислении такого рода логарифмических интегралов, кажется, что название Интегралы Мальмстена было бы более подходящим для них^[3]). Мальмстен вывел приведенные выше формулы, используя различные представления серий. В то же время было показано, что они также могут быть оценены методы контурной интеграции,^[3] используя Дзета-функция Гурвица,^[5] используя полилогарифмы^[6] и используя L-функции.^[4] Более сложные формы интегралов Мальмстена появляются в работах Адамчика.^[5] и Благушин^[3] (более 70 интегралов). Ниже приведены несколько примеров таких интегралов.

${displaystyle int limits _{0}^{1}{frac {ln ln {frac {1}{x}}}{1+x^{3}}},dx=int limits _{1}^{infty }{frac {xln ln x}{1+x^{3}}},dx={frac {ln 2}{6}}ln {frac {3}{2}}-{frac {pi }{6{sqrt {3}}}}left{ln 54-8ln 2pi +12ln Gamma left({frac {1}{3}}ight)ight}}$

${displaystyle int limits _{0}^{1}!{frac {xln ln {frac {1}{x}}}{(1-x+x^{2})^{2}}},dx=int limits _{1}^{infty }!{frac {xln ln x}{(1-x+x^{2})^{2}}},dx=-{frac {gamma }{3}}-{frac {1}{3}}ln {frac {6{sqrt {3}}}{pi }}+{frac {pi {sqrt {3}}}{27}}left{5ln 2pi -6ln Gamma left({frac {1}{6}}ight)ight}}$

${displaystyle int limits _{0}^{1}{frac {left(x^{4}-6x^{2}+1ight)ln ln {frac {1}{x}}}{,(1+x^{2})^{3},}},dx=int limits _{1}^{infty }{frac {left(x^{4}-6x^{2}+1ight)ln ln {x}}{,(1+x^{2})^{3},}},dx={frac {2,mathrm {G} }{pi }}}$

${displaystyle int limits _{0}^{1}{frac {xleft(x^{4}-4x^{2}+1ight)ln ln {frac {1}{x}}}{,(1+x^{2})^{4},}},dx=int limits _{1}^{infty }{frac {xleft(x^{4}-4x^{2}+1ight)ln ln {x}}{,(1+x^{2})^{4},}},dx={frac {7zeta (3)}{8pi ^{2}}}}$

${displaystyle {egin{array}{ll}displaystyle int limits _{0}^{1}{frac {x!left(x^{frac {m}{n}}-x^{-{frac {m}{n}}}ight)^{!2}ln ln {frac {1}{x}}}{,(1-x^{2})^{2},}},dx=int limits _{1}^{infty }{frac {x!left(x^{frac {m}{n}}-x^{-{frac {m}{n}}}ight)^{!2}ln ln {x}}{,(1-x^{2})^{2},}},dx=!!!&displaystyle {frac {,mpi ,}{,n,}}sum _{l=1}^{n-1}sin {dfrac {2pi ml}{n}}cdot ln Gamma !left(!{frac {l}{n}}!ight)-,{frac {pi m}{,2n,}}cot {frac {pi m}{n}}cdot ln pi n[3mm]&displaystyle -,{frac {,1,}{2}}ln !left(!{frac {,2,}{pi }}sin {frac {,mpi ,}{n}}!ight)-,{frac {gamma }{2}}end{array}}}$

${displaystyle {egin{array}{l}displaystyle int limits _{0}^{1}{frac {x^{2}!left(x^{frac {m}{n}}+x^{-{frac {m}{n}}}ight)ln ln {frac {1}{x}}}{,(1+x^{2})^{3},}},dx=int limits _{1}^{infty }{frac {x^{2}!left(x^{frac {m}{n}}+x^{-{frac {m}{n}}}ight)ln ln {x}}{,(1+x^{2})^{3},}},dx=-{frac {,pi left(n^{2}-m^{2}ight),}{8n^{2}}}!sum _{l=0}^{2n-1}!(-1)^{l}cos {dfrac {(2l+1)mpi }{2n}}cdot ln Gamma !left(!{frac {2l+1}{4n}}ight)[3mm]displaystyle ,,+{frac {,m,}{,8n^{2},}}!sum _{l=0}^{2n-1}!(-1)^{l}sin {dfrac {(2l+1)mpi }{2n}}cdot Psi !left(!{frac {2l+1}{4n}}ight)-{frac {,1,}{,32pi n^{2},}}!sum _{l=0}^{2n-1}(-1)^{l}cos {dfrac {(2l+1)mpi }{2n}}cdot Psi _{1}!left(!{frac {2l+1}{4n}}ight)+,{frac {,pi (n^{2}-m^{2}),}{16n^{2}}}sec {dfrac {mpi }{2n}}cdot ln 2pi nend{array}}}$

где м и п натуральные числа такие, что м<п, G - это Каталонская постоянная, ζ - обозначает Дзета-функция Римана, Ψ - это функция дигаммы, Ψ₁ - это функция тригаммы; см. соответственно ур. (43), (47) и (48) в^[5] для первых трех интегралов и упражнений нет. 36-а, 36-б, 11-б и 13-б в^[3] для последних четырех интегралов соответственно (третий интеграл вычисляется в обеих работах). Любопытно, что некоторые интегралы Мальмстена приводят к гамма- и полигамма-функции сложных аргументов, которые не часто встречаются при анализе. Например, как показал Ярослав Благушин,^[3]

${displaystyle int limits _{0}^{1}!{frac {xln ln {frac {1}{x}}}{1+4x^{2}+x^{4}}},dx=int limits _{1}^{infty }!{frac {xln ln {x}}{1+4x^{2}+x^{4}}},dx={frac {,pi ,}{,2{sqrt {3,}},}}mathrm {Im} !left[ln Gamma !left(!{frac {1}{2}}-{frac {ln(2+{sqrt {3,}})}{2pi i}}ight)!ight]+,{frac {ln(2+{sqrt {3,}})}{,4{sqrt {3,}},}}ln pi }$

или же,

${displaystyle int limits _{0}^{1}!{frac {,xln ln {frac {1}{x}},}{,x^{4}-2x^{2}cosh {2}+1,}},dx=int limits _{1}^{infty }!{frac {,xln ln {x},}{,x^{4}-2x^{2}cosh {2}+1,}},dx=-{frac {,pi ,}{2,sinh {2},}}mathrm {Im} !left[ln Gamma !left(!{frac {i}{2pi }}ight)-ln Gamma !left(!{frac {1}{2}}-{frac {i}{2pi }}ight)!ight]-{frac {,pi ^{2}}{8,sinh {2},}}-{frac {,ln 2pi ,}{2,sinh {2},}}}$

см. упражнения 7-а и 37 соответственно. Кстати, интегралы Мальмстена также оказываются тесно связанными с Константы Стилтьеса.^[3][10][11]

В 1842 году Мальмстен также оценил несколько важных логарифмических рядов, среди которых мы можем найти эти два ряда.

${displaystyle sum _{n=0}^{infty }(-1)^{n}{frac {ln(2n+1)}{2n+1}},=,{frac {pi }{4}}{ig (}ln pi -gamma )-pi ln Gamma left({frac {3}{4}}ight)}$

и

${displaystyle sum _{n=1}^{infty }(-1)^{n-1}{frac {sin ancdot ln {n}}{n}},=,pi ln left{{frac {pi ^{{frac {1}{2}}-{frac {a}{2pi }}}}{Gamma left(displaystyle {frac {1}{2}}+{frac {a}{2pi }}ight)}}ight}-{frac {a}{2}}{ig (}gamma +ln 2{ig )}-{frac {pi }{2}}ln cos {frac {a}{2}},,qquad -pi <a<pi .}$

Последняя серия была позже переоткрыта в несколько ином виде Эрнст Куммер, который вывел подобное выражение

${displaystyle {frac {1}{pi }}sum _{n=1}^{infty }{frac {sin 2pi nxcdot ln {n}}{n}}=ln Gamma (x)-{frac {1}{2}}ln(2pi )+{frac {1}{2}}ln(2sin pi x)-{frac {1}{2}}(gamma +ln 2pi )(1-2x),,qquad 0<x<1,}$

в 1847 г.^[3] (строго говоря, результат Куммера получается из результата Мальмстена, если положить a = π (2x-1)). Более того, этот ряд даже известен в анализе как Куммера для логарифма Гамма-функция, хотя Мальмстен вывел его за 5 лет до Куммера.

Мальсмтен также внес значительный вклад в теорию рядов и интегралов, связанных с дзета-функциями. В 1842 году он доказал следующее важное функциональное соотношение для L-функции

${displaystyle L(s)equiv sum _{n=0}^{infty }{frac {(-1)^{n}}{(2n+1)^{s}}}qquad qquad L(1-s)=L(s)Gamma (s)2^{s}pi ^{-s}sin {frac {pi s}{2}},}$

а также для M-функции

${displaystyle M(s)equiv {frac {2}{sqrt {3}}}sum _{n=1}^{infty }{frac {(-1)^{n+1}}{n^{s}}}sin {frac {pi n}{3}}qquad qquad M(1-s)=displaystyle {frac {2}{sqrt {3}}},M(s)Gamma (s)3^{s}(2pi )^{-s}sin {frac {pi s}{2}},}$

где в обеих формулах 0 Леонард Эйлер уже в 1749 г.,^[12] но это доказал Мальмстен (Эйлер только предложил эту формулу и проверил ее для нескольких целых и полуцелых значений s). Как ни странно, та же самая формула для L (s) была неосознанно заново открыта Оскар Шлёмильх в 1849 г. (доказательство предоставлено только в 1858 г.).^{[3][13][14][15]} Четыре года спустя Мальмстен вывел несколько других аналогичных формул отражения, которые оказались частными случаями Функциональное уравнение Гурвица.

Говоря о вкладе Мальмстена в теорию дзета-функций, нельзя не упомянуть самое недавнее открытие его авторства формулы отражения для первого обобщенного Постоянная Стилтьеса при рациональном аргументе

${displaystyle gamma _{1}{iggl (}{frac {m}{n}}{iggr )}-gamma _{1}{iggl (}1-{frac {m}{n}}{iggr )}=2pi sum _{l=1}^{n-1}sin {frac {2pi ml}{n}}cdot ln Gamma {iggl (}{frac {l}{n}}{iggr )}-pi (gamma +ln 2pi n)cot {frac {mpi }{n}}}$

где м и п натуральные числа такие, что м<пЭта идентичность была получена, хотя и в несколько иной форме, Мальмстеном уже в 1846 году и также независимо несколько раз открывалась различными авторами. В частности, в литературе, посвященной Константы Стилтьеса, его часто приписывают Альмквисту и Меурману, которые получили его в 1990-х годах.^[10]

Рекомендации

1. «Om Definita Integraler mellan imaginära gränsor» (1865 г.).
2. Миттаг-Леффлер и Acta^{[постоянная мертвая ссылка ]}.
3. Ярослав Викторович Благушин Повторное открытие интегралов Мальмстена, их вычисление методами контурного интегрирования и некоторые связанные результаты. Журнал Рамануджана, т. 35, нет. 1, pp. 21-110, 2014. Erratum-Addendum: vol. 42, стр. 777-781, 2017. PDF
4. И. Варди Интегралы, введение в аналитическую теорию чисел. Американский математический ежемесячник, т. 95, стр. 308-315, 1988.
5. В. Адамчик Класс логарифмических интегралов. Труды Международного симпозиума 1997 года по символическим и алгебраическим вычислениям, стр. 1-8, 1997.
6. Медина Л. А., Молл В. Х. Класс логарифмических интегралов. Журнал Рамануджана, т. 20, нет. 1. С. 91-126, 2009.
7. В. Х. Молл Некоторые вопросы оценки определенных интегралов. Краткий курс MAA, Сан-Антонио, Техас. Январь 2006 г.
8. Эрик В. Вайсштейн Интеграл Варди. С веб-ресурса MathWorld-A Wolfram.
9. Слоан, Н. Дж. А. (ред.). «Последовательность A115252». В Он-лайн энциклопедия целочисленных последовательностей. Фонд OEIS.
10. Ярослав Викторович Благушин Теорема для вычисления в замкнутой форме первой обобщенной постоянной Стилтьеса при рациональных аргументах и ​​некоторые связанные суммирования Журнал теории чисел (Elsevier), т. 148, стр. 537-592 и т. 151, стр. 276-277, 2015. arXiv PDF
11. Math StackExchange: вычисление конкретного интеграла (создано: 8 марта 2014 г.)
12. Л. Эйлер Remarques sur un beau rapport entre les séries des puissances tant directes que réciproques. Histoire de l'Académie Royale des Sciences et Belles-Lettres, année MDCCLXI, Tome 17, pp. 83-106, A Berlin, chez Haude et Spener, Libraires de la Cour et de l'Académie Royale, 1768 [прочитано в 1749 году]
13. G.H. Харди Расходящаяся серия.Оксфорд в Clarendan Press, 1949 год.
14. Х. Вилейтнер Geschichte der Mathematik [в 2-х томах] Берлин, 1922-1923 гг.
15. Я. Дутка О суммировании расходящихся рядов Эйлера и дзета-функций. Архив истории точных наук, том 50, выпуск 2, стр. 187-200, Архив истории точных наук, 27.VIII.1996.