Индекс Коши - Cauchy index

В математический анализ, то Индекс Коши является целое число связано с настоящим рациональная функция над интервал. Посредством Теорема Рауса – Гурвица, имеем следующую интерпретацию: индекс Коши

р(Икс) = п(Икс)/q(Икс)

над реальная линия разница между количеством корней ж(z), расположенные в правой полуплоскости, и расположенные в левой полуплоскости. Комплексный многочлен ж(z) таково, что

ж(иу) = q(у) + ip(у).

Мы также должны предположить, что п имеет степень меньше, чем степень q.

Определение

  • Обобщение на компактном интервале [а,б] является прямым (когда ни а ни б полюса р(Икс)): это сумма индексов Коши из р для каждого s расположен в интервале. Обычно мы обозначаем его через .
  • Затем мы можем обобщить на интервалы типа поскольку количество полюсов р - конечное число (взяв предел индекса Коши по [а,б] за а и б уходя в бесконечность).

Примеры

Рациональная функция
  • Рассмотрим рациональную функцию:

Мы признаем в п(Икс) и q(Икс) соответственно Полиномы Чебышева степени 3 и 5. Следовательно, р(Икс) имеет полюса , , , и , т.е. за . Мы видим на картинке, что и . Для полюса в нуле имеем так как левый и правый пределы равны (это потому, что п(Икс) тоже имеет корень в нуле). Мы делаем вывод, что поскольку q(Икс) имеет только пять корней, все из [−1,1]. Мы не можем использовать здесь теорему Рауса – Гурвица, поскольку каждый комплексный многочлен с ж(иу) = q(у) + ip(у) имеет нуль на воображаемая линия (а именно в начале координат).

внешняя ссылка