Центры тяжести в неоднородных полях - Centers of gravity in non-uniform fields

В физика, а центр гравитации материального тела - это точка, которую можно использовать для краткого описания гравитационных взаимодействий. В униформе гравитационное поле, то центр массы служит центром тяжести. Это очень хорошее приближение для более мелких тел у поверхности Земли, поэтому нет практической необходимости отличать «центр тяжести» от «центра масс» в большинстве приложений, таких как инженерия и медицина.

В неоднородном поле гравитационные эффекты, такие как потенциальная энергия, сила, и крутящий момент больше нельзя рассчитать, используя только центр масс. В частности, неоднородное гравитационное поле может создавать крутящий момент на объекте даже вокруг оси, проходящей через центр масс. Центр тяжести пытается объяснить этот эффект. Формально центр тяжести - это точка приложения результирующий гравитационная сила на теле. Такой точки может не быть, и если она существует, то она не уникальна. Далее можно определить уникальный центр тяжести, аппроксимируя поле параллельным или сферически симметричным.

Концепция центра тяжести в отличие от центра масс редко используется в приложениях, даже в небесная механика, где важны неоднородные поля. Поскольку центр тяжести зависит от внешнего поля, его движение определить труднее, чем движение центра масс. Обычным методом работы с гравитационными моментами является теория поля.

Центр массы

Один из способов определить центр тяжести тела - это уникальная точка в теле, если она существует, которая удовлетворяет следующему требованию: нет никакого крутящего момента вокруг точки для любого положения тела в силовом поле, в котором оно размещен. Этот центр тяжести существует только тогда, когда сила однородна, и в этом случае он совпадает с центром масс.^[1] Этот подход восходит к Архимед.^[2]

Центры тяжести в поле

Когда на тело действует неоднородное внешнее гравитационное поле, иногда можно определить центр гравитации относительно того поля, которое будет действовать как точка приложения силы тяжести. Учебники, такие как Лекции Фейнмана по физике охарактеризуйте центр тяжести как точку, вокруг которой отсутствует крутящий момент. Другими словами, центр тяжести - это точка приложения результирующей силы.^[3] Согласно этой формулировке центр тяжести $р cg$ определяется как точка, удовлетворяющая уравнению

{ displaystyle mathbf {r} _ { mathrm {cg}} times mathbf {F} = { boldsymbol { tau}},}

куда $F$ и $τ$ - общая сила и крутящий момент на теле под действием силы тяжести.^[4]

Одна сложность относительно $р cg$ состоит в том, что его определяющее уравнение обычно не разрешимо. Если $F$ и $τ$ не ортогональный, то решения нет; сила тяжести не имеет равнодействующей и не может быть заменена одной силой в любой точке.^[5] Есть несколько важных частных случаев, когда $F$ и $τ$ гарантированно ортогональны, например, если все силы лежат в одной плоскости или выровнены по одной точке.^[6]

Если уравнение разрешимо, возникает еще одна сложность: его решения не единственны. Вместо этого существует бесконечно много решений; набор всех решений известен как линия действий силы. Эта линия параллельна весу $F$ . В общем, нет возможности выбрать конкретную точку в качестве уникального центра тяжести.^[7] Единственная точка может быть выбрана в некоторых особых случаях, например, если гравитационное поле параллельно или сферически симметрично. Эти случаи рассматриваются ниже.

Параллельные поля

Некоторая неоднородность в гравитационном поле может быть смоделирована переменным, но параллельным полем: $грамм (р) = грамм (р) п$ , куда $п$ - некоторый постоянный единичный вектор. Хотя неоднородное гравитационное поле не может быть точно параллельным, это приближение может быть справедливым, если тело достаточно маленькое.^[8] Затем центр тяжести может быть определен как определенное средневзвешенное значение положений частиц, составляющих тело. В то время как центр масс составляет среднее значение по массе каждой частицы, центр тяжести составляет среднее значение по массе каждой частицы:

{ displaystyle mathbf {r} _ { mathrm {cg}} = { frac {1} {W}} sum _ {i} w_ {i} mathbf {r} _ {i},}

куда $ш я$ - (скалярный) вес $я$ th частица и $W$ - (скалярный) общий вес всех частиц.^[9] Это уравнение всегда имеет единственное решение, и в приближении параллельного поля оно совместимо с требованием крутящего момента.^[10]

Обычная иллюстрация касается Луна в области земной шар. Используя определение средневзвешенного значения, Луна имеет центр тяжести, который находится ниже (ближе к Земле), чем ее центр масс, потому что на ее нижнюю часть сильнее влияет сила тяжести Земли.^[11]

Сферически-симметричные поля

Если внешнее гравитационное поле сферически симметрично, то оно эквивалентно полю точечной массы $M$ в центре симметрии $р$ . В этом случае центр тяжести можно определить как точку, в которой общая сила, действующая на тело, определяется выражением Закон Ньютона:

{ displaystyle { frac {GmM ( mathbf {r} _ { mathrm {cg}} - mathbf {r})} {| mathbf {r} _ { mathrm {cg}} - mathbf {r } | ^ {3}}} = mathbf {F},}

куда $грамм$ это гравитационная постоянная и $м$ это масса тела. Пока общая сила отлична от нуля, это уравнение имеет единственное решение и удовлетворяет требованиям крутящего момента.^[12] Удобная особенность этого определения состоит в том, что если тело само сферически симметрично, то $р cg$ лежит в его центре массы. В общем, как расстояние между $р$ и тело увеличивается, центр тяжести приближается к центру масс.^[13]

Другой способ взглянуть на это определение - рассмотреть гравитационное поле тела; тогда $р cg$ является очевидным источником гравитационного притяжения для наблюдателя, находящегося в $р$ . По этой причине, $р cg$ иногда называют центром тяжести $M$ относительно точки $р$ .^[7]

использование

Определенные выше центры тяжести не являются фиксированными точками на теле; скорее, они меняются по мере изменения положения и ориентации тела. Эта характеристика затрудняет работу с центром тяжести, поэтому эта концепция не имеет практического применения.^[14]

Когда необходимо учитывать гравитационный момент, легче представить гравитацию как силу, действующую в центре масс, плюс зависящую от ориентации пара.^[15] К последнему лучше всего подойти путем лечения гравитационный потенциал как поле.^[7]

Примечания

^ Милликен 1902 С. 34–35.
^ Ширли и Фэйрбридж 1997, п. 92.
^ Фейнман, Лейтон и Сэндс, 1963 г., п. 19-3; Типлер и Моска 2004, стр. 371–372; Поллард и Флетчер 2005; Розен и Готард 2009, стр. 75–76; Pytel & Kiusalaas 2010 С. 442–443.
^ Типлер и Моска 2004, п. 371.
^ Саймон 1964, стр. 233, 260
^ Саймон 1964, п. 233
^ ^а ^б ^c Саймон 1964, п. 260
^ Битти 2006 С. 45.
^ Битти 2006, п. 48; Джонг и Роджерс 1995, стр.213.
^ Битти 2006 С. 47–48.
^ Азимов 1988, п. 77; Frautschi et al. 1986 г., п. 269.
^ Саймон 1964, стр. 259–260; Гудман и Уорнер 2001, п. 117; Хэмилл 2009 С. 494–496.
^ Саймон 1964, стр. 260, 263–264
^ Саймон 1964, п. 260; Гудман и Уорнер 2001, п. 118.
^ Гудман и Уорнер 2001, п. 118.

Рекомендации

Азимов Исаак (1988) [1966], Понимание физики, Barnes & Noble Books, ISBN 0-88029-251-2
Битти, Миллард Ф. (2006), Основы инженерной механики, Том 2: Динамика - Анализ движения, Математические концепции и методы в науке и технике, 33, Спрингер, ISBN 0-387-23704-6
Фейнман, Ричард; Лейтон, Роберт Б.; Пески, Мэтью (1963), Лекции Фейнмана по физике, 1 (Шестое издание, февраль 1977 г.), Addison-Wesley, ISBN 0-201-02010-6
Фраучи, Стивен С.; Оленик, Ричард П .; Апостол, Том М.; Гудштейн, Дэвид Л. (1986), Механическая вселенная: механика и тепло, расширенное издание, Издательство Кембриджского университета, ISBN 0-521-30432-6
Гольдштейн, Герберт; Пул, Чарльз; Сафко, Джон (2002), Классическая механика (3-е изд.), Эддисон-Уэсли, ISBN 0-201-65702-3
Гудман, Лоуренс Э .; Уорнер, Уильям Х. (2001) [1964], Статика, Дувр, ISBN 0-486-42005-1
Хэмилл, Патрик (2009), Промежуточная динамика, Jones & Bartlett Learning, ISBN 978-0-7637-5728-1
Jong, I.G .; Роджерс, Б. Г. (1995), Инженерная механика: статика, Издательство Saunders College Publishing, ISBN 0-03-026309-3
Милликен, Роберт Эндрюс (1902), Механика, молекулярная физика и тепло: двенадцатинедельный курс в колледже, Чикаго: Скотт, Форсман и компания, получено 25 мая 2011
Поллард, Дэвид Д.; Флетчер, Раймонд С. (2005), Основы структурной геологии, Издательство Кембриджского университета, ISBN 978-0-521-83927-3
Пытель, Андрей; Киусалаас, Яан (2010), Инженерная механика: статика, 1 (3-е изд.), Cengage Learning, ISBN 978-0-495-29559-4
Розен, Джо; Готард, Лиза Куинн (2009), Энциклопедия физических наук, Издательство информационной базы, ISBN 978-0-8160-7011-4
Serway, Raymond A .; Джуэтт, Джон В. (2006), Принципы физики: текст, основанный на исчислении, 1 (4-е изд.), Thomson Learning, ISBN 0-534-49143-X
Ширли, Джеймс Н .; Фэрбридж, Родос Уитмор (1997), Энциклопедия планетных наук, Спрингер, ISBN 0-412-06951-2
Де Сильва, Кларенс В. (2002), Справочник по вибрации и ударам, CRC Press, ISBN 978-0-8493-1580-0
Саймон, Кейт Р. (1971), Механика, Эддисон-Уэсли, ISBN 978-0-201-07392-8
Типлер, Пол А .; Моска, Джин (2004), Физика для ученых и инженеров, 1А (5-е изд.), W.H. Freeman and Company, ISBN 0-7167-0900-7

[FOOTNOTEMillikan190234–35-1] Милликен 1902 С. 34–35.

[FOOTNOTEShirleyFairbridge199792-2] Ширли и Фэйрбридж 1997, п. 92.

[3] Фейнман, Лейтон и Сэндс, 1963 г., п. 19-3; Типлер и Моска 2004, стр. 371–372; Поллард и Флетчер 2005; Розен и Готард 2009, стр. 75–76; Pytel & Kiusalaas 2010 С. 442–443.

[FOOTNOTETiplerMosca2004371-4] Типлер и Моска 2004, п. 371.

[Symon233260-5] Саймон 1964, стр. 233, 260

[symon233-6] Саймон 1964, п. 233

[symon260-7] а ^б ^c Саймон 1964, п. 260

[FOOTNOTEBeatty200645-8] Битти 2006 С. 45.

[9] Битти 2006, п. 48; Джонг и Роджерс 1995, стр.213.

[FOOTNOTEBeatty200647–48-10] Битти 2006 С. 47–48.

[11] Азимов 1988, п. 77; Frautschi et al. 1986 г., п. 269.

[12] Саймон 1964, стр. 259–260; Гудман и Уорнер 2001, п. 117; Хэмилл 2009 С. 494–496.

[symon260264-13] Саймон 1964, стр. 260, 263–264

[14] Саймон 1964, п. 260; Гудман и Уорнер 2001, п. 118.

[FOOTNOTEGoodmanWarner2001118-15] Гудман и Уорнер 2001, п. 118.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]