Чандрасекхары Икс- и Y-функция - Chandrasekhars X- and Y-function - Wikipedia

В атмосферном радиация, Чандрасекара Икс- и Y-функция выступает как решение проблем, связанных с диффузное отражение и трансмиссия, введенная Индийский американец астрофизик Субраманян Чандрасекар.^{[1][2][3][4][5]} Чандрасекар Икс- и Y-функция ${\displaystyle X(\mu ),\ Y(\mu )}$ определены в интервале ${\displaystyle 0\leq \mu \leq 1}$, удовлетворяет паре нелинейных интегральных уравнений

${\displaystyle {\begin{aligned}X(\mu )&=1+\mu \int _{0}^{1}{\frac {\Psi (\mu ')}{\mu +\mu '}}[X(\mu )X(\mu ')-Y(\mu )Y(\mu ')]\,d\mu ',\\[5pt]Y(\mu )&=e^{-\tau _{1}/\mu }+\mu \int _{0}^{1}{\frac {\Psi (\mu ')}{\mu -\mu '}}[Y(\mu )X(\mu ')-X(\mu )Y(\mu ')]\,d\mu '\end{aligned}}}$

где характеристическая функция ${\displaystyle \Psi (\mu )}$ является четным многочленом от ${\displaystyle \mu }$ в целом удовлетворяет условию

${\displaystyle \int _{0}^{1}\Psi (\mu )\,d\mu \leq {\frac {1}{2}},}$

и ${\displaystyle 0<\tau _{1}<\infty }$ это оптическая толщина атмосферы. Если равенство выполняется в указанном выше условии, оно называется консервативный случай, иначе неконсервативный. Эти функции связаны с H-функция Чандрасекара в качестве

${\displaystyle X(\mu )\rightarrow H(\mu ),\quad Y(\mu )\rightarrow 0\ {\text{as}}\ \tau _{1}\rightarrow \infty }$

а также

${\displaystyle X(\mu )\rightarrow 1,\quad Y(\mu )\rightarrow e^{-\tau _{1}/\mu }\ {\text{as}}\ \tau _{1}\rightarrow 0.}$

Приближение

В ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$ может быть приблизительно п-й заказ как

${\displaystyle {\begin{aligned}X(\mu )&={\frac {(-1)^{n}}{\mu _{1}\cdots \mu _{n}}}{\frac {1}{[C_{0}^{2}(0)-C_{1}^{2}(0)]^{1/2}}}{\frac {1}{W(\mu )}}[P(-\mu )C_{0}(-\mu )-e^{-\tau _{1}/\mu }P(\mu )C_{1}(\mu )],\\[5pt]Y(\mu )&={\frac {(-1)^{n}}{\mu _{1}\cdots \mu _{n}}}{\frac {1}{[C_{0}^{2}(0)-C_{1}^{2}(0)]^{1/2}}}{\frac {1}{W(\mu )}}[e^{-\tau _{1}/\mu }P(\mu )C_{0}(\mu )-P(-\mu )C_{1}(-\mu )]\end{aligned}}}$

куда ${\displaystyle C_{0}}$ и ${\displaystyle C_{1}}$ являются двумя основными полиномами порядка n (см. уравнение Чандрасекара в главе VIII (97)^[6]), ${\displaystyle P(\mu )=\prod _{i=1}^{n}(\mu -\mu _{i})}$ куда ${\displaystyle \mu _{i}}$ нули Полиномы Лежандра и ${\displaystyle W(\mu )=\prod _{\alpha =1}^{n}(1-k_{\alpha }^{2}\mu ^{2})}$, куда ${\displaystyle k_{\alpha }}$ положительные не обращающиеся в нуль корни соответствующего характеристического уравнения

${\displaystyle 1=2\sum _{j=1}^{n}{\frac {a_{j}\Psi (\mu _{j})}{1-k^{2}\mu _{j}^{2}}}}$

куда ${\displaystyle a_{j}}$ квадратурные веса, определяемые

${\displaystyle a_{j}={\frac {1}{P_{2n}'(\mu _{j})}}\int _{-1}^{1}{\frac {P_{2n}(\mu _{j})}{\mu -\mu _{j}}}\,d\mu _{j}}$

Характеристики

• Если ${\displaystyle X(\mu ,\tau _{1}),\ Y(\mu ,\tau _{1})}$ являются решениями для определенного значения ${\displaystyle \tau _{1}}$, то решения для других значений ${\displaystyle \tau _{1}}$ получаются из следующих интегро-дифференциальные уравнения

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial X(\mu ,\tau _{1})}{\partial \tau _{1}}}&=Y(\mu ,\tau _{1})\int _{0}^{1}{\frac {d\mu '}{\mu '}}\Psi (\mu ')Y(\mu ',\tau _{1}),\\{\frac {\partial Y(\mu ,\tau _{1})}{\partial \tau _{1}}}+{\frac {Y(\mu ,\tau _{1})}{\mu }}&=X(\mu ,\tau _{1})\int _{0}^{1}{\frac {d\mu '}{\mu '}}\Psi (\mu ')Y(\mu ',\tau _{1})\end{aligned}}}$

• ${\displaystyle \int _{0}^{1}X(\mu )\Psi (\mu )\,d\mu =1-\left[1-2\int _{0}^{1}\Psi (\mu )\,d\mu +\left\{\int _{0}^{1}Y(\mu )\Psi (\mu )\,d\mu \right\}^{2}\right]^{1/2}.}$ Для консервативного случая это интегральное свойство сводится к ${\displaystyle \int _{0}^{1}[X(\mu )+Y(\mu )]\Psi (\mu )\,d\mu =1.}$
• Если сокращения ${\displaystyle x_{n}=\int _{0}^{1}X(\mu )\Psi (\mu )\mu ^{n}\,d\mu ,\ y_{n}=\int _{0}^{1}Y(\mu )\Psi (\mu )\mu ^{n}\,d\mu ,\ \alpha _{n}=\int _{0}^{1}X(\mu )\mu ^{n}\,d\mu ,\ \beta _{n}=\int _{0}^{1}Y(\mu )\mu ^{n}\,d\mu }$ для краткости, то имеем соотношение, устанавливающее ${\displaystyle (1-x_{0})x_{2}+y_{0}y_{2}+{\frac {1}{2}}(x_{1}^{2}-y_{1}^{2})=\int _{0}^{1}\Psi (\mu )\mu ^{2}\,d\mu .}$ В консервативном варианте это сводится к ${\displaystyle y_{0}(x_{2}+y_{2})+{\frac {1}{2}}(x_{1}^{2}-y_{1}^{2})=\int _{0}^{1}\Psi (\mu )\mu ^{2}\,d\mu }$
• Если характеристическая функция ${\displaystyle \Psi (\mu )=a+b\mu ^{2}}$, куда ${\displaystyle a,b}$ - две константы, то имеем ${\displaystyle \alpha _{0}=1+{\frac {1}{2}}[a(\alpha _{0}^{2}-\beta _{0}^{2})+b(\alpha _{1}^{2}-\beta _{1}^{2})]}$.
• В консервативном случае решения не уникальны. Если ${\displaystyle X(\mu ),\ Y(\mu )}$ являются решениями исходного уравнения, то и эти две функции ${\displaystyle F(\mu )=X(\mu )+Q\mu [X(\mu )+Y(\mu )],\ G(\mu )=Y(\mu )+Q\mu [X(\mu )+Y(\mu )]}$, куда ${\displaystyle Q}$ - произвольная постоянная.

Смотрите также

• H-функция Чандрасекара

Рекомендации

1. Чандрасекар, Субраманян. Радиационный перенос. Курьерская корпорация, 2013 г.
2. Хауэлл, Джон Р., М. Пинар Менгук и Роберт Сигел. Тепловой перенос тепла. CRC press, 2010.
3. Модест, Майкл Ф. Радиационная теплопередача. Академическая пресса, 2013.
4. Хоттель, Хойт Кларк и Адель Ф. Сарофим. Радиационный перенос. Макгроу-Хилл, 1967.
5. Воробей, Эфраим М. и Роберт Д. Сесс. «Радиационная теплопередача». Series in Thermal and Fluids Engineering, New York: McGraw-Hill, 1978, Augmented ed. (1978).
6. Чандрасекар, Субраманян. Радиационный перенос. Курьерская корпорация, 2013 г.