Характеристическая функция (выпуклый анализ) - Characteristic function (convex analysis)

В области математика известный как выпуклый анализ, то характеристическая функция набора это выпуклая функция что указывает на принадлежность (или непринадлежность) данного элемента к этому набору. Он похож на обычный индикаторная функция, и можно свободно преобразовывать между ними, но характеристическая функция, как определено ниже, лучше подходит для методов выпуклого анализа.

Определение

Позволять ${displaystyle X}$ быть набор, и разреши ${displaystyle A}$ быть подмножество из ${displaystyle X}$. В характеристическая функция из ${displaystyle A}$ это функция

${displaystyle chi _{A}:X o mathbb {R} cup {+infty }}$

принимая ценности в расширенная строка действительных чисел определяется

${displaystyle chi _{A}(x):={egin{cases}0,&xin A;+infty ,&xot in A.end{cases}}}$

Связь с индикаторной функцией

Позволять ${displaystyle mathbf {1} _{A}:X o mathbb {R} }$ обозначают обычную индикаторную функцию:

${displaystyle mathbf {1} _{A}(x):={egin{cases}1,&xin A;�,&xot in A.end{cases}}}$

Если принять соглашения,

• для любого ${displaystyle ain mathbb {R} cup {+infty }}$, ${displaystyle a+(+infty )=+infty }$ и ${displaystyle a(+infty )=+infty }$, Кроме ${displaystyle 0(+infty )=0}$;
• ${displaystyle {frac {1}{0}}=+infty }$; и
• ${displaystyle {frac {1}{+infty }}=0}$;

тогда индикаторная и характеристическая функции связаны уравнениями

${displaystyle mathbf {1} _{A}(x)={frac {1}{1+chi _{A}(x)}}}$

и

${displaystyle chi _{A}(x)=(+infty )left(1-mathbf {1} _{A}(x)ight).}$

Библиография

• Рокафеллар, Р. Т. (1997) [1970]. Выпуклый анализ. Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета. ISBN  978-0-691-01586-6.