Теорема Ченгса о сравнении собственных значений - Chengs eigenvalue comparison theorem - Wikipedia

В Риманова геометрия, Теорема сравнения собственных значений Ченга в общих чертах заявляет, что когда домен большой, первый Собственное значение Дирихле своего Оператор Лапласа – Бельтрами маленький. Эта общая характеристика неточна отчасти потому, что понятие «размер» домена также должно учитывать его кривизна.^[1] Теорема связана с Ченг (1975b) к Шиу-Юэнь Чэн. С помощью геодезические шары, его можно обобщить на некоторые трубчатые области (Ли 1990 ).

Теорема

Позволять M быть Риманово многообразие с размером п, и разреши B_M(п, р) - геодезический шар с центром в п с радиусом р меньше чем радиус приемистости из п ∈ M. Для каждого реального числа k, позволять N(k) обозначают односвязный космическая форма измерения п и постоянный секционная кривизна k. Теорема Ченга о сравнении собственных значений сравнивает первое собственное значение λ₁(B_M(п, р)) задачи Дирихле в B_M(п, р) с первым собственным значением в B_N(k)(р) для подходящих значений k. Теорема состоит из двух частей:

• Предположим, что K_M, то секционная кривизна из M, удовлетворяет

${\displaystyle K_{M}\leq k.}$

потом

${\displaystyle \lambda _{1}\left(B_{N(k)}(r)\right)\leq \lambda _{1}\left(B_{M}(p,r)\right).}$

Вторая часть представляет собой теорему сравнения для Кривизна Риччи из M:

• Предположим, что кривизна Риччи M удовлетворяет для каждого векторного поля Икс,

${\displaystyle \operatorname {Ric} (X,X)\geq k(n-1)|X|^{2}.}$

Тогда с теми же обозначениями, что и выше,

${\displaystyle \lambda _{1}\left(B_{N(k)}(r)\right)\geq \lambda _{1}\left(B_{M}(p,r)\right).}$

С.Ю. Ченг использовал Теорема Барта для вывода теоремы сравнения собственных значений. В частном случае, если k = −1 и ing (п) = ∞, неравенство Ченга принимает вид λ^*(N) ≥ λ^*(ЧАС ^п(−1)), что является Неравенство Маккина.^[2]

Смотрите также

• Теорема сравнения
• Теорема сравнения собственных значений

Рекомендации

Цитаты

1. Чавел 1984, п. 77
2. Чавел 1984, п. 70

Библиография

• Бесса, Г.П .; Черногория, J.F. (2008), "О теореме сравнения собственных значений Ченга", Математические труды Кембриджского философского общества, 144 (3): 673–682, Дои:10,1017 / с0305004107000965, ISSN  0305-0041.
• Чавел, Исаак (1984), Собственные значения в римановой геометрии, Pure Appl. Математика, 115, Академическая пресса.
• Чэн, Шиу Юэнь (1975a), "Собственные функции и собственные значения лапласиана", Дифференциальная геометрия (Proc. Sympos. Pure Math., Vol. XXVII, Stanford Univ., Stanford, Calif., 1973), Part 2, Провиденс, Р.И.: Американское математическое общество, стр. 185–193, МИСТЕР  0378003
• Ченг, Шиу Юэнь (1975b), "Теоремы сравнения собственных значений и их геометрические приложения", Математика. Z., 143: 289–297, Дои:10.1007 / BF01214381.
• Ли, Джеффри М. (1990), "Сравнение собственных значений для трубчатых областей", Труды Американского математического общества, Американское математическое общество, 109 (3): 843–848, Дои:10.2307/2048228, JSTOR  2048228.
• Маккин, Генри (1970), «Верхняя оценка спектра оператора на многообразии отрицательной кривизны», Журнал дифференциальной геометрии, 4: 359–366.
• Ли, Джеффри М .; Ричардсон, Кен (1998), "Римановы слоения и сравнение собственных значений", Анна. Глобальный анал. Геом., 16: 497–525, Дои:10.1023 / А: 1006573301591/