Щебетать масса - Chirp mass

В астрофизика в щебетать масса компактной двойной системы определяет начальник орбитальная эволюция системы в результате потери энергии из-за испускания гравитационные волны. Поскольку частота гравитационной волны определяется орбитальной частотой, масса щебета также определяет изменение частоты сигнала гравитационной волны, излучаемого во время двоичной системы. вдохновляющий фаза. В анализ данных гравитационных волн легче измерить массу чирпа, чем массы двух компонентов.

Определение по массам компонентов

Двухчастичная система с массами компонентов ${\displaystyle m_{1}}$ и ${\displaystyle m_{2}}$ имеет массу щебета

${\displaystyle {\mathcal {M}}={\frac {(m_{1}m_{2})^{3/5}}{(m_{1}+m_{2})^{1/5}}}}$^[1][2][3]

Массу щебета можно также выразить через общую массу системы. ${\displaystyle M=m_{1}+m_{2}}$ и другие общие массовые параметры:

• в уменьшенная масса ${\displaystyle \mu ={\frac {m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}}$:

  ${\displaystyle {\mathcal {M}}=\mu ^{3/5}M^{2/5},}$

• соотношение масс ${\displaystyle q=m_{1}/m_{2}}$:

  ${\displaystyle {\mathcal {M}}=\left[{\frac {q}{(1+q)^{2}}}\right]^{3/5}M,}$ или же

• симметричное отношение масс ${\displaystyle \eta ={\frac {m_{1}m_{2}}{(m_{1}+m_{2})^{2}}}={\frac {\mu }{M}}={\frac {q}{(1+q)^{2}}}=\left({\frac {m_{\mathrm {g} eo}}{M}}\right)^{2}}$:

  ${\displaystyle {\mathcal {M}}=\eta ^{3/5}M.}$

  Симметричное отношение масс достигает максимального значения ${\displaystyle \eta ={\frac {1}{4}}}$ когда ${\displaystyle m_{1}=m_{2}}$, и поэтому ${\displaystyle {\mathcal {M}}=(1/4)^{3/5}M\approx 0.435\,M.}$

• среднее геометрическое масс компонентов ${\displaystyle m_{geo}={\sqrt {m_{1}m_{2}}}}$:

  ${\displaystyle {\mathcal {M}}=m_{\mathrm {g} eo}\left({\frac {m_{\mathrm {g} eo}}{M}}\right)^{1/5},}$

  Если массы двух компонентов примерно одинаковы, то последний коэффициент близок к ${\displaystyle (1/2)^{1/5}=0.871,}$ так ${\displaystyle {\mathcal {M}}\approx 0.871\,m_{\mathrm {g} eo}}$. Этот множитель уменьшается при неравных массах компонентов, но довольно медленно. Например. для массового соотношения 3: 1 он становится ${\displaystyle {\mathcal {M}}=0.846\,m_{\mathrm {g} eo}}$, а при массовом соотношении 10: 1 - ${\displaystyle {\mathcal {M}}=0.779\,m_{\mathrm {g} eo}.}$

Орбитальная эволюция

В общая теория относительности, фазовая эволюция двойная орбита можно вычислить с помощью постньютоновское расширение, пертурбативное разложение по орбитальной скорости ${\displaystyle v/c}$. Частота гравитационной волны первого порядка, ${\displaystyle f}$, эволюция описывается дифференциальное уравнение

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} t}}={\frac {96}{5}}\pi ^{8/3}\left({\frac {G{\mathcal {M}}}{c^{3}}}\right)^{5/3}f^{11/3}}$,^[1]

куда ${\displaystyle c}$ и ${\displaystyle G}$ являются скорость света и Гравитационная постоянная Ньютона, соответственно.

Если можно измерить как частоту ${\displaystyle f}$ и производная частоты ${\displaystyle {\dot {f}}}$ сигнала гравитационной волны можно определить массу чирпа.^{[4][5][примечание 1]}

${\displaystyle {\mathcal {M}}={\frac {c^{3}}{G}}\left({\frac {5}{96}}\pi ^{-8/3}f^{-11/3}{\dot {f}}\right)^{3/5}}$

(1)

Чтобы разделить массы отдельных компонентов в системе, необходимо дополнительно измерить члены более высокого порядка в постньютоновском разложении.^[1]

Смотрите также

• Уменьшенная масса
• Задача двух тел в общей теории относительности

Примечание

1. Перепишите уравнение (1), чтобы получить частотную эволюцию гравитационных волн от сливающейся двойной системы:^[6]

   ${\displaystyle {\dot {f}}={\frac {96}{5}}\pi ^{8/3}\left({\frac {G{\mathcal {M}}}{c^{3}}}\right)^{5/3}f^{11/3}}$

   (2)

   Интеграция уравнение (2) по времени дает:^[6]

   ${\displaystyle {\frac {96}{5}}\pi ^{8/3}\left({\frac {G{\mathcal {M}}}{c^{3}}}\right)^{5/3}t+{\frac {3}{8}}f^{-8/3}+C=0}$

   (3)

   где C - постоянная интегрирования. Кроме того, при выявлении ${\displaystyle x\equiv t}$ и ${\displaystyle y\equiv {\frac {3}{8}}f^{-8/3}}$, масса чирпа может быть рассчитана из склон линии, проходящей через точки данных (x, y).

Рекомендации

1. Катлер, Курт; Фланаган, Эанна Э. (15 марта 1994 г.). «Гравитационные волны от слияния компактных двойных систем: насколько точно можно извлечь параметры двойных систем из спиральной формы волны?». Физический обзор D. 49 (6): 2658–2697. arXiv:gr-qc / 9402014. Bibcode:1994ПхРвД..49.2658С. Дои:10.1103 / PhysRevD.49.2658.
2. Л. Бланше; Т. Дамур; Б. Р. Айер; К. М. Уилл; А. Г. Вайзман (1 мая 1995 г.). «Гравитационно-радиационное затухание компактных двойных систем до второго постньютоновского порядка». Phys. Rev. Lett. 74 (18): 3515–3518. arXiv:gr-qc / 9501027. Bibcode:1995ПхРвЛ..74.3515Б. Дои:10.1103 / PhysRevLett.74.3515. PMID  10058225.
3. Бланше, Люк; Iyerddag, Bala R .; Уилл, Клиффорд М .; Уайзман, Алан Г. (апрель 1996 г.). «Гравитационные волновые формы от вдохновляющих компактных двойных систем до второго постньютоновского порядка». Классическая и квантовая гравитация. 13 (4): 575–584. arXiv:gr-qc / 9602024. Bibcode:1996CQGra..13..575B. Дои:10.1088/0264-9381/13/4/002.
4. Abbott, B.P .; и другие. (Научное сотрудничество LIGO и сотрудничество Virgo) (2016). "Свойства двойного слияния черных дыр GW150914". Письма с физическими проверками. 116 (24): 241102. arXiv:1602.03840. Bibcode:2016ПхРвЛ.116х1102А. Дои:10.1103 / PhysRevLett.116.241102. PMID  27367378.
5. Abbott, B.P .; и другие. (Научное сотрудничество LIGO и сотрудничество Virgo) (2018). «Свойства двойной нейтронной звезды слияния GW170817». arXiv:1805.11579. Bibcode:2018arXiv180511579T.
6. Тивари, Вайбхав; Клименко, Сергей; Некула, Валентин; Мицельмахер, Генах (январь 2016 г.). «Реконструкция массы чирпа в поисках нестационарных гравитационных волн». Классическая и квантовая гравитация. 33 (1): 01LT01. arXiv:1510.02426. Bibcode:2016CQGra..33aLT01T. Дои:10.1088 / 0264-9381 / 33/1 / 01LT01.