Изоморфизм Чоя – Ямиолковского - Choi–Jamiołkowski isomorphism

В квантовая теория информации и теория операторов, то Изоморфизм Чоя – Ямиолковского относится к соответствию между квантовые каналы (описанный полные положительные карты ) и квантовых состояний (описываемых матрицы плотности ), это вводится М. Д. Чой^[1] и А. Ямиолковский.^[2] Его еще называют дуальность каналов и состояний некоторыми авторами в области квантовой информации,^[3] но математически это более общее соответствие между положительными операторами и полными положительными супероператорами.^{[нужна цитата ]}

Определение

Изучить квантовый канал ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ из системы ${\displaystyle S}$ к ${\displaystyle S'}$, которое является сохраняющим след полным положительным отображением из операторных пространств ${\displaystyle {\mathcal {L}}({\mathcal {H}}_{S})}$ к ${\displaystyle {\mathcal {L}}({\mathcal {H}}_{S'})}$введем вспомогательную систему ${\displaystyle A}$ того же размера, что и система ${\displaystyle S}$. Рассмотрим максимально запутанное состояние

${\displaystyle |\Phi ^{+}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {d}}}\sum _{i=0}^{d-1}|i\rangle \otimes |i\rangle ={\frac {1}{\sqrt {d}}}(|0\rangle \otimes |0\rangle +\cdots +|d-1\rangle \otimes |d-1\rangle )}$

в пространстве ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{A}\otimes {\mathcal {H}}_{S}}$, поскольку ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ полностью положительный, ${\displaystyle I\otimes {\mathcal {E}}(|\Phi ^{+}\rangle \langle \Phi ^{+}|)}$ - неотрицательный оператор. Наоборот, для любого неотрицательного оператора на ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{A}\otimes {\mathcal {H}}_{S'}}$, мы можем связать полное положительное отображение из ${\displaystyle {\mathcal {L}}({\mathcal {H}}_{S})}$к ${\displaystyle {\mathcal {L}}({\mathcal {H}}_{S'})}$такое соответствие называется изоморфизмом Чоя – Ямиолковского.

Рекомендации

1. Цой, М. Д. (1975). Полностью положительные линейные отображения на комплексных матрицах. Линейная алгебра и ее приложения, 10 (3), 285-290.
2. Ямиолковский, А. (1972). Линейные преобразования, сохраняющие след и положительную полуопределенность операторов. Сообщения по математической физике, 3 (4), 275-278.
3. Цзян, Мин; Ло, Шуньлун; Фу, Шуаншуан (13 февраля 2013). "Дуальность русла и состояния". Физический обзор A. 87 (2): 022310. Bibcode:2013PhRvA..87b2310J. Дои:10.1103 / PhysRevA.87.022310. ISSN  1050-2947.