Двойственность состояния канала - Channel-state duality

В квантовая теория информации, то дуальность каналов и состояний относится к соответствию между квантовые каналы и квантовые состояния (описываемые матрицы плотности ). Другими словами, двойственность - это изоморфизм между полностью положительными отображениями (каналами) из А к C^п×п, куда А это C * -алгебра и C^п×п обозначает п×п комплексные элементы и положительные линейные функционалы (состояния ) на тензорном произведении

${\displaystyle \mathbb {C} ^{n\times n}\otimes A.}$

Подробности

Позволять ЧАС₁ и ЧАС₂ быть (конечномерными) гильбертовыми пространствами. Семейство линейных операторов, действующих на ЧАС_я будем обозначать L(ЧАС_я). Рассмотрим две квантовые системы с номерами 1 и 2, состояния которых являются матрицами плотности в L(ЧАС_я) соответственно. А квантовый канал в картине Шредингера является полностью положительным (сокращенно CP), сохраняющим след линейным отображением

${\displaystyle \Phi :L(H_{1})\rightarrow L(H_{2})}$

который переводит состояние системы 1 в состояние системы 2. Далее мы описываем дуальное состояние, соответствующее Φ.

Позволять E_{я j} обозначим матричную единицу, у которой ij-я запись - 1 и ноль в другом месте. (Операторная) матрица

${\displaystyle \rho _{\Phi }=(\Phi (E_{ij}))_{ij}\in L(H_{1})\otimes L(H_{2})}$

называется Матрица Чоя из Φ. К Теорема Чоя о вполне положительных отображениях, Φ CP тогда и только тогда, когда ρ_Φ положительно (полуопределено). Можно просмотреть ρ_Φ как матрица плотности, и, следовательно, состояние, двойственное к Φ.

Двойственность между каналами и состояниями относится к карте

${\displaystyle \Phi \rightarrow \rho _{\Phi },}$

линейная биекция. Эта карта также называется Изоморфизм Ямиолковского или же Изоморфизм Чоя – Ямиолковского.

Приложения

Этот изоморфизм используется, чтобы показать, что «Подготовь и измерь» Квантовое распределение ключей (QKD) протоколы, такие как BB84 протокол разработан К. Х. Беннетт и Г. Брассар^[1] эквивалентны "Запутанность -Based »протоколы QKD, представленные А. К. Экерт.^[2] Более подробную информацию об этом можно найти, например, в книге М. Уайльда «Квантовая теория информации».^[3]

Рекомендации

1. К. Х. Беннетт и Г. Брассар, «Квантовая криптография: распределение открытых ключей и подбрасывание монет», Труды Международной конференции IEEE по компьютерам, системам и обработке сигналов, Бангалор, 175 (1984)
2. Экерт, Артур К. (1991-08-05). «Квантовая криптография, основанная на теореме Белла». Письма с физическими проверками. Американское физическое общество (APS). 67 (6): 661–663. Bibcode:1991ПхРвЛ..67..661Э. Дои:10.1103 / Physrevlett.67.661. ISSN  0031-9007. PMID  10044956.
3. М. Уайлд, "Квантовая теория информации" - Издательство Кембриджского университета, 2-е изд. (2017), §22.4.1, стр. 613