Интеграл Шоке - Choquet integral

А Интеграл Шоке это субаддитив или же супераддитив интеграл, созданный французским математиком Гюстав Шоке в 1953 г.^[1] Первоначально он использовался в статистическая механика и теория потенциала,^[2] но попал в теория принятия решений в 80-е годы^[3] где он используется как способ измерения ожидаемого полезность неопределенного события. Он применяется специально для функции принадлежности и возможности. В неточная теория вероятностей, интеграл Шоке также используется для вычисления нижнего математического ожидания, индуцированного 2-монотонным низкая вероятность, или верхнее математическое ожидание, индуцированное 2-чередующимися верхняя вероятность.

Использование интеграла Шоке для обозначения ожидаемой полезности функций доверия, измеренных с помощью емкости, является способом согласования Парадокс Эллсберга и Парадокс Алле.^[4][5]

Определение

Используются следующие обозначения:

• ${displaystyle S}$ - множество.
• ${displaystyle {mathcal {F}}}$ - набор подмножеств ${displaystyle S}$.
• ${displaystyle f:S o mathbb {R} }$ - функция.
• ${displaystyle u :{mathcal {F}} o mathbb {R} ^{+}}$ - монотонный установить функцию.

Предположить, что ${displaystyle f}$ измерима относительно ${displaystyle {mathcal {F}}}$, то есть

${displaystyle forall xin mathbb {R} colon {s|f(s)geq x}in {mathcal {F}}}$

Тогда интеграл Шоке от ${displaystyle f}$ относительно ${displaystyle u }$ определяется:

${displaystyle (C)int fdu :=int _{-infty }^{0}(u ({s|f(s)geq x})-u (S)),dx+int _{0}^{infty }u ({s|f(s)geq x}),dx}$

где интегралы в правой части - обычные Интеграл Римана (подынтегральные выражения интегрируемы, поскольку они монотонны по ${displaystyle x}$).

Характеристики

В общем случае интеграл Шоке не удовлетворяет аддитивности. В частности, если ${displaystyle u }$ не является вероятностной мерой, можно считать, что

${displaystyle int f,du +int g,du eq int (f+g),du .}$

для некоторых функций ${displaystyle f}$ и ${displaystyle g}$.

Интеграл Шоке удовлетворяет следующим свойствам.

Монотонность

Если ${displaystyle fleq g}$ тогда

${displaystyle (C)int f,du leq (C)int g,du }$

Положительная однородность

Для всех ${displaystyle lambda geq 0}$ он считает, что

${displaystyle (C)int lambda f,du =lambda (C)int f,du ,}$

Комонотонная аддитивность

Если ${displaystyle f,g:Sightarrow mathbb {R} }$ являются комонотонными функциями, то есть если для всех ${displaystyle s,s'in S}$ он считает, что

${displaystyle (f(s)-f(s'))(g(s)-g(s'))geq 0}$.

что можно представить как ${displaystyle f}$ и ${displaystyle g}$ подниматься и опускаться вместе

тогда

${displaystyle (C)int ,fdu +(C)int g,du =(C)int (f+g),du .}$

Субаддитивность

Если ${displaystyle u }$ 2-чередуется,^{[требуется разъяснение ]} тогда

${displaystyle (C)int ,fdu +(C)int g,du geq (C)int (f+g),du .}$

Супераддитивность

Если ${displaystyle u }$ 2-монотонный,^{[требуется разъяснение ]} тогда

${displaystyle (C)int ,fdu +(C)int g,du leq (C)int (f+g),du .}$

Альтернативное представительство

Позволять ${displaystyle G}$ обозначить кумулятивная функция распределения такой, что ${displaystyle G^{-1}}$ является ${displaystyle dH}$ интегрируемый. Затем эту следующую формулу часто называют интегралом Шоке:

${displaystyle int _{-infty }^{infty }G^{-1}(alpha )dH(alpha )=-int _{-infty }^{a}H(G(x))dx+int _{a}^{infty }{hat {H}}(1-G(x))dx,}$

куда ${displaystyle {hat {H}}(x)=H(1)-H(1-x)}$.

• выберите ${displaystyle H(x):=x}$ получить ${displaystyle int _{0}^{1}G^{-1}(x)dx=E[X]}$,
• выберите ${displaystyle H(x):=1_{[alpha ,x]}}$ получить ${displaystyle int _{0}^{1}G^{-1}(x)dH(x)=G^{-1}(alpha )}$

Приложения

Интеграл Шоке применялся в обработке изображений, видео и компьютерном зрении. В теории поведенческих решений Амос Тверски и Даниэль Канеман используют интеграл Шоке и связанные с ним методы в своей формулировке кумулятивной теории перспектив.^[6]

Смотрите также

• Нелинейное ожидание
• Супераддитивность
• Субаддитивность

Примечания

1. Шоке, Г. (1953). «Теория емкостей». Annales de l'Institut Fourier. 5: 131–295. Дои:10.5802 / aif.53.
2. Деннеберг, Д. (1994). Неаддитивная мера и интеграл. Kluwer Academic. ISBN  0-7923-2840-X.
3. Грабиш, М. (1996). «Применение нечетких интегралов в многокритериальном принятии решений». Европейский журнал операционных исследований. 89 (3): 445–456. Дои:10.1016 / 0377-2217 (95) 00176-X.
4. Chateauneuf, A .; Коэн, М. Д. (2010). "Кардинальные расширения модели ЕС на основе интеграла Шоке". В Буису, Дени; Дюбуа, Дидье; Пирло, Марк; Прад, Анри (ред.). Процесс принятия решений: концепции и методы. Дои:10.1002 / 9780470611876.ch10.
5. Срибоунчита, С .; Wong, W. K .; Dhompongsa, S .; Нгуен, Х. Т. (2010). Стохастическое доминирование и приложения к финансам, рискам и экономике. CRC Press. ISBN  978-1-4200-8266-1.
6. Тверски, А .; Канеман, Д. (1992). «Достижения в теории перспектив: совокупное представление неопределенности». Журнал рисков и неопределенностей. 5: 297–323. Дои:10.1007 / bf00122574.

дальнейшее чтение

• Гильбоа, I .; Шмейдлер, Д. (1992). «Аддитивные представления неаддитивных мер и интеграл Шоке».
• Даже, Y .; Лерер, Э. (2014). «Разложение-интеграл: объединение Шоке и вогнутых интегралов». Экономическая теория. 56 (1): 33–58. Дои:10.1007 / s00199-013-0780-0. МИСТЕР  3190759.