Теория Шоке - Choquet theory

В математика, Теория Шоке, названный в честь Гюстав Шоке, это площадь функциональный анализ и выпуклый анализ обеспокоен меры который имеет поддерживать на крайние точки из выпуклый набор C. Грубо говоря, каждый вектор из C должно появиться как средневзвешенное значение экстремальных точек, концепция, уточненная путем обобщения понятия средневзвешенного значения из выпуклое сочетание для интеграл взял на себя набор E крайних точек. Здесь C является подмножеством реальное векторное пространство V, и основная задача теории - рассмотрение случаев, когда V - бесконечномерная (локально выпуклая хаусдорфова) топологическое векторное пространство по аналогии с конечномерным случаем. Главные заботы Гюстава Шоке были в теория потенциала. Теория Шоке стала общей парадигмой, особенно для лечения выпуклые конусы как определено их крайними лучи, и так для многих различных понятий позитивность по математике.

Два конца отрезок определить точки между ними: в векторных терминах отрезок от v к ш состоит из λv + (1 - λ)ш при 0 ≤ λ ≤ 1. Классический результат Герман Минковски говорит, что в Евклидово пространство, а ограниченный, закрыто выпуклый набор C это выпуклый корпус множества крайних точек E, так что любой c в C является (конечным) выпуклое сочетание очков е из E. Здесь E может быть конечным или бесконечный набор. В векторных терминах, присвоив неотрицательные веса ш(е) к е в E, почти все 0 мы можем представить любой c в C в качестве

{displaystyle c = sum _ {ein E} w (e) e}

с

{displaystyle sum _ {ein E} w (e) = 1. }

В любом случае ш(е) дать вероятностная мера поддерживается на конечном подмножестве E. Для любого аффинная функция ж на C, его значение в точке c является

{displaystyle f (c) = int f (e) dw (e).}

В условиях бесконечного измерения хотелось бы сделать подобное заявление.

Теорема Шоке заявляет, что для компактный выпуклое подмножество C из нормированное пространство V, данный c в C существует вероятностная мера ш поддерживается на съемочной площадке E крайних точек C такое, что для любой аффинной функции ж на C,

{displaystyle f (c) = int f (e) dw (e).}

На практике V будет Банахово пространство. Оригинал Теорема Крейна – Мильмана следует из результата Шоке. Еще одно следствие - Теорема Рисса о представлении за состояния о непрерывных функциях на метризуемом компактном хаусдорфовом пространстве.

В более общем плане для V а локально выпуклое топологическое векторное пространство, то Теорема Шоке – Бишопа – де Лиу^[1] дает такое же формальное заявление.

В дополнение к существованию вероятностной меры, поддерживаемой на крайней границе, которая представляет данную точку c, можно также учитывать уникальность таких мер. Легко видеть, что единственность не выполняется даже в конечномерном случае. В качестве контрпримеров можно принять выпуклое множество за куб или мяч в р³. Однако единственность сохраняется, когда выпуклое множество конечномерно. симплекс. Конечномерный симплекс - это частный случай Шоке симплекс. Любая точка в симплексе Шоке представляется единственной вероятностной мерой на крайних точках.

Смотрите также

Примечания

^ Эрретт Бишоп; Карл де Леув. «Представления линейных функционалов мерами на множествах крайних точек». Annales de l'Institut Fourier, 9 (1959), стр. 305–331.

Теория Шоке - Choquet theory

Смотрите также

Примечания

Рекомендации