В математика, Уравнение кристалла является нелинейным первого порядка обыкновенное дифференциальное уравнение, названный в честь математика Джордж Кристал, которые обсуждали единственное решение этого уравнения в 1896 г.[1] Уравнение читается как[2][3]

куда
- константы, которые при решении
, дает

Это уравнение является обобщением Уравнение Клеро поскольку оно сводится к уравнению Клеро при определенных условиях, указанных ниже.
Решение
Представляем трансформацию
дает

Теперь уравнение разделимо, поэтому

Знаменатель в левой части можно разложить на множители, если решить корни уравнения
и корни
, следовательно

Если
, решение

куда
- произвольная постоянная. Если
, (
) то решение
![{ displaystyle x (z-a) exp left [{ frac {a} {a-z}} right] = k.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b7d10cb12c33ded6cf8ae24b1f17b11c78e56a5)
Когда один из корней равен нулю, уравнение сводится к Уравнение Клеро и в этом случае получается параболическое решение:
и решение

Вышеупомянутое семейство парабол охвачено параболой
, поэтому эта огибающая парабола является единственное решение.
Рекомендации
- ^ Кристал Дж., "О p-дискриминанте дифференциального уравнения первого порядка и о некоторых моментах в общей теории связанных с ним огибающих", Пер. Рой. Soc. Един, т. 38, 1896, стр. 803–824.
- ^ Дэвис, Гарольд Тайер. Введение в нелинейные дифференциальные и интегральные уравнения. Курьерская корпорация, 1962 год.
- ^ Инс, Э. Л. (1939). Обыкновенные дифференциальные уравнения, Лондон (1927). Google ученый.