Уравнение Клеро - Clairauts equation - Wikipedia

Не путать с Теорема Клеро или же Отношение Клеро.

В математический анализ, Уравнение Клеро (или Уравнение Клеро) это дифференциальное уравнение формы

${\displaystyle y(x)=x{\frac {dy}{dx}}+f\left({\frac {dy}{dx}}\right)}$

куда ж является непрерывно дифференцируемый. Это частный случай дифференциального уравнения Лагранжа. Назван в честь французов. математик Алексис Клеро, который ввел его в 1734 году.^[1]

Определение

Чтобы решить уравнение Клеро, дифференцируют по Икс, уступая

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{dx}}+x{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+f'\left({\frac {dy}{dx}}\right){\frac {d^{2}y}{dx^{2}}},}$

так

${\displaystyle \left[x+f'\left({\frac {dy}{dx}}\right)\right]{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=0.}$

Следовательно, либо

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=0}$

или же

${\displaystyle x+f'\left({\frac {dy}{dx}}\right)=0.}$

В первом случае, C = dy/dx для некоторой постоянной C. Подставляя это в уравнение Клеро, мы получаем семейство функций прямой линии, заданных формулой

${\displaystyle y(x)=Cx+f(C),\,}$

так называемой общее решение уравнения Клеро.

Последний случай,

${\displaystyle x+f'\left({\frac {dy}{dx}}\right)=0,}$

определяет только одно решение у(Икс), так называемой единственное решение, график которого является конверт графиков общих решений. Особое решение обычно представляется с использованием параметрической записи, как (Икс(п), у(п)), куда п = dy/dx.

Примеры

Следующие кривые представляют решения двух уравнений Клеро:

• 

  ${\displaystyle f(p)=p^{2}}$
• 

  ${\displaystyle f(p)=p^{3}}$

В каждом случае общие решения показаны черным цветом, а особые решения - фиолетовым.

Расширение

В более широком смысле, первоклассный уравнение в частных производных формы

${\displaystyle \displaystyle u=xu_{x}+yu_{y}+f(u_{x},u_{y})}$

также известно как уравнение Клеро.^[2]

Смотрите также

• Уравнение Даламбера
• Уравнение кристалла
• Превращение Лежандра

Примечания

1. Клеро 1734.
2. Камке 1944 г..

Рекомендации

• Клеро, Алексис Клод (1734), «Решение дополнительных проблем, связанных с проблемами Курб, не имеет права собственности, состоящей из определенных отношений между ветвями, exprimée par une Équation Donnée»., Histoire de l'Académie Royale des Sciences: 196–215.

• Камке, Э. (1944), Differentialgleichungen: Lösungen und Lösungsmethoden (на немецком языке), 2. Partielle Differentialgleichungen 1er Ordnung für eine gesuchte Funktion, Akad. Verlagsgesell.

• Розов, Н.Х. (2001) [1994], «Уравнение Клеро», Энциклопедия математики, EMS Press.