Классификация компонентов Fatou - Classification of Fatou components - Wikipedia

В математика, Компоненты Fatou являются составные части из Набор Fatou. Они были названы в честь Пьер Фату.

Рациональный случай

Если f является рациональная функция

${\displaystyle f={\frac {P(z)}{Q(z)}}}$

определено в расширенная комплексная плоскость, а если это нелинейная функция (степень> 1)

${\displaystyle d(f)=\max(\deg(P),\,\deg(Q))\geq 2,}$

то для периодического компонент ${\displaystyle U}$ из Набор Fatou, выполняется ровно одно из следующего:

1. ${\displaystyle U}$ содержит притягивающая периодическая точка
2. ${\displaystyle U}$ является параболический^[1]
3. ${\displaystyle U}$ это Диск Зигеля: односвязный компонент Фату, на котором ж(z) аналитически сопряжена с евклидовым поворотом единичного диска на себя на иррациональный угол поворота.
4. ${\displaystyle U}$ это Кольцо Германа: двусвязная компонента Фату ( кольцо ) на котором ж(z) аналитически сопряжена с евклидовым поворотом круглого кольца, опять же на иррациональный угол поворота.

• 

  Набор Julia (белый) и набор Fatou (темно-красный / зеленый / синий) для ${\displaystyle f:z\mapsto z-{\frac {g}{g'}}(z)}$ с ${\displaystyle g:z\mapsto z^{3}-1}$ в комплексной плоскости.

• 

  Множество Жюлиа с суперпритягивающими циклами (гиперболическими) внутри и снаружи

• 

  Кривые уровня и лучи в сверхпритягивающем корпусе

• 

  Юля набор с параболическим циклом

• 

  Набор Джулии с диском Зигеля (эллиптический корпус)

• 

  Комплект Julia с кольцом Herman

Привлекающая периодическая точка

Компоненты карты ${\displaystyle f(z)=z-(z^{3}-1)/3z^{2}}$ содержат точки притяжения, которые являются решениями ${\displaystyle z^{3}=1}$. Это потому, что карта - это та карта, которую можно использовать для поиска решений уравнения ${\displaystyle z^{3}=1}$ к Ньютон-Рафсон формула. Решения, естественно, должны привлекать неподвижные точки.

Кольцо Германа

Карта

${\displaystyle f(z)=e^{2\pi it}z^{2}(z-4)/(1-4z)}$

и t = 0,6151732 ... даст кольцо Германа.^[2] Это показано Шишикура что степень такой карты должна быть не менее 3, как в этом примере.

Более одного типа компонентов

Если степень d больше 2, то существует более одной критической точки, а затем может быть более одного типа компонентов.

• 

  Герман + Параболик

• 

  Период 3 и 105

• 

  притягивающий и параболический

• 

  период 1 и период 1

Трансцендентный случай

Бейкер домен

В случае трансцендентные функции существует еще один тип периодических компонентов Фату, называемый Бейкер домен: это "домены на котором итерации стремятся к существенная особенность (невозможно для многочленов и рациональных функций) "^[3][4] Пример функции:^[5]

${\displaystyle f(z)=z-1+(1-2z)e^{z}}$

Блуждающая область

Трансцендентные карты могут иметь блуждающие владения: это компоненты Fatou, которые в конечном итоге не являются периодическими.

Смотрите также

• Теорема об отсутствии блуждающей области
• Теорема Монтеля
• Джон Домены^[6]

Рекомендации

• Леннарт Карлесон и Теодор В. Гамелен, Сложная динамика, Springer 1993.
• Алан Ф. Бирдон Итерация рациональных функций, Springer 1991.

1. викиучебники: параболические множества Джулии
2. Милнор, Джон В. (1990), Динамика одной комплексной переменной, arXiv:математика / 9201272, Bibcode:1992математика ...... 1272M
3. Введение в голоморфную динамику (с особым вниманием к трансцендентным функциям) Л. Ремпе
4. Диски Зигеля в сложной динамике, Тараканта Наяк
5. Трансцендентная семья с владениями Бейкера Аймо Хинкканена, Хартье Криете и Бернд Краускопф
6. ДЖУЛИЯ И ДЖОН В ПОСЕТИТЕЛЬСТВЕ НИКОЛА МИХАЛАЧ