Функция сравнения - Comparison function

В Прикладная математика, функции сравнения несколько классов непрерывные функции, которые используются в теория устойчивости характеризовать свойства устойчивости управляющих систем как Ляпуновская устойчивость, равномерная асимптотическая устойчивость и т. д.

Позволять ${displaystyle C(X,Y)}$ - пространство непрерывных функций, действующих из ${displaystyle X}$ к ${displaystyle Y}$. Наиболее важные классы функций сравнения:

${displaystyle {egin{aligned}{mathcal {P}}&:=left{gamma in C({mathbb {R} }_{+},{mathbb {R} }_{+}):gamma (0)=0{ ext{ and }}gamma (r)>0{ ext{ for }}r>0ight}[4pt]{mathcal {K}}&:=left{gamma in {mathcal {P}}:gamma { ext{ is strictly increasing}}ight}[4pt]{mathcal {K}}_{infty }&:=left{gamma in {mathcal {K}}:gamma { ext{ is unbounded}}ight}[4pt]{mathcal {L}}&:={gamma in C({mathbb {R} }_{+},{mathbb {R} }_{+}):gamma { ext{ is strictly decreasing with }}lim _{tightarrow infty }gamma (t)=0}[4pt]{mathcal {KL}}&:=left{eta in C({mathbb {R} }_{+} imes {mathbb {R} }_{+},{mathbb {R} }_{+}):eta { ext{ is continuous, }}eta (cdot ,t)in {mathcal {K}}, forall tgeq 0, eta (r,cdot )in {mathcal {L}}, forall r>0ight}end{aligned}}}$

Функции класса ${displaystyle {mathcal {P}}}$ также называются положительно определенные функции.

Одно из наиболее важных свойств функций сравнения дано Зонтагом. ${displaystyle {mathcal {KL}}}$-Лемма,^[1] имени Эдуардо Зонтага. В нем говорится, что для каждого ${displaystyle eta in {mathcal {KL}}}$ и любой ${displaystyle lambda >0}$ существуют ${displaystyle alpha _{1},alpha _{2}in {mathcal {K_{infty }}}}$:

${displaystyle alpha _{1}(eta (s,t))leq alpha _{2}(s)e^{-lambda t},quad t,sin mathbb {R} _{+}.}$

(1)

Многие другие полезные свойства функций сравнения можно найти в.^[2][3]

Функции сравнения в основном используются для получения количественных переформулировок таких свойств устойчивости, как устойчивость по Ляпунову, равномерная асимптотическая устойчивость и т. Д. Эти переформулировки часто более полезны, чем качественные определения свойств устойчивости, приведенные в ${displaystyle varepsilon { ext{-}}delta }$ язык.

В качестве примера рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение

${displaystyle {dot {x}}=f(x),}$

(2)

куда ${displaystyle f:{mathbb {R} }^{n} o {mathbb {R} }^{n}}$ является местно Липшиц. Потом:

• (2) является глобально стабильный тогда и только тогда, когда есть ${displaystyle sigma in {mathcal {K_{infty }}}}$ так что для любого начального условия ${displaystyle x_{0}in {mathbb {R} }^{n}}$ и для любого ${displaystyle tgeq 0}$ он считает, что

${displaystyle |x(t)|leq sigma (|x_{0}|).}$

(3)

• (2) является глобально асимптотически устойчивый тогда и только тогда, когда есть ${displaystyle eta in {mathcal {KL}}}$ так что для любого начального условия ${displaystyle x_{0}in {mathbb {R} }^{n}}$ и для любого ${displaystyle tgeq 0}$ он считает, что

${displaystyle |x(t)|leq eta (|x_{0}|,t).}$

(4)

Формализм функций сравнения широко используется в стабильность от входа к состоянию теория.

Рекомендации

1. Э. Д. Зонтаг. Комментарии к интегральным вариантам МКС. Письма о системах и управлении, 34(1-2):93–100, 1998.
2. W. Hahn. Устойчивость движения. Спрингер-Верлаг, Нью-Йорк, 1967.
3. К. М. Келлетт. Подборка результатов функции сравнения. Математика управления, сигналов и систем, 26(3):339–374, 2014.