Соединение двадцати октаэдров со свободой вращения - Compound of twenty octahedra with rotational freedom

Соединение двадцати октаэдров со свободой вращения
Тип	Равномерное соединение
Индекс	UC13
Многогранники	20 октаэдры
Лица	40+120 треугольники
Края	240
Вершины	120
Группа симметрии	икосаэдр (ячас)
Подгруппа ограничиваясь одной составляющей	6-кратный неправильное вращение (S6)

В соединение двадцати октаэдров со свободой вращения это однородное соединение многогранника. Он состоит из симметричного расположения 20 октаэдры, считается треугольным антипризмы. Его можно построить, наложив две копии соединение 10 октаэдров UC₁₆, и для каждой полученной пары октаэдров, поворачивая каждый октаэдр в паре на равный и противоположный угол θ.

Когда θ равна нулю или 60 градусам, октаэдры попарно совпадают, давая (две наложенные копии) соединения десяти октаэдров UC₁₆ и UC₁₅ соответственно. Когда

${displaystyle heta =2 an ^{-1}left({sqrt {{frac {1}{3}}left(13-4{sqrt {10}}ight)}}ight)approx 37.76124^{circ },}$

октаэдры (от различных осей вращения) совпадают в наборах четыре, давая соединение пяти октаэдров. Когда

${displaystyle heta =2 an ^{-1}left({frac {-4{sqrt {3}}-2{sqrt {15}}+{sqrt {132+60{sqrt {5}}}}}{4+{sqrt {2}}+2{sqrt {5}}+{sqrt {10}}}}ight)approx 14.33033^{circ },}$

вершины попарно совпадают, что дает соединение двадцати октаэдров (без свободы вращения).

Декартовы координаты

Декартовы координаты для вершин этого соединения - все циклические перестановки

${displaystyle {egin{aligned}&scriptstyle {Big (}pm 2{sqrt {3}}sin heta ,,pm ( au ^{-1}{sqrt {2}}+2 au cos heta ),,pm ( au {sqrt {2}}-2 au ^{-1}cos heta ){Big )}&scriptstyle {Big (}pm ({sqrt {2}}- au ^{2}cos heta + au ^{-1}{sqrt {3}}sin heta ),,pm ({sqrt {2}}+(2 au -1)cos heta +{sqrt {3}}sin heta ),,pm ({sqrt {2}}+ au ^{-2}cos heta - au {sqrt {3}}sin heta ){Big )}&scriptstyle {Big (}pm ( au ^{-1}{sqrt {2}}- au cos heta - au {sqrt {3}}sin heta ),,pm ( au {sqrt {2}}+ au ^{-1}cos heta + au ^{-1}{sqrt {3}}sin heta ),,pm (3cos heta -{sqrt {3}}sin heta ){Big )}&scriptstyle {Big (}pm (- au ^{-1}{sqrt {2}}+ au cos heta - au {sqrt {3}}sin heta ),,pm ( au {sqrt {2}}+ au ^{-1}cos heta - au ^{-1}{sqrt {3}}sin heta ),,pm (3cos heta +{sqrt {3}}sin heta ){Big )}&scriptstyle {Big (}pm (-{sqrt {2}}+ au ^{2}cos heta + au ^{-1}{sqrt {3}}sin heta ),,pm ({sqrt {2}}+(2 au -1)cos heta -{sqrt {3}}sin heta ),,pm ({sqrt {2}}+ au ^{-2}cos heta + au {sqrt {3}}sin heta ){Big )}end{aligned}}}$

куда τ = (1 + √5) / 2 - это Золотое сечение (иногда пишетсяφ).

Галерея

• Соединения двадцати октаэдров со свободой вращения
• 

  θ = 0°

• 

  θ = 5°

• 

  θ = 10°

• 

  θ = 15°

• 

  θ = 20°

• 

  θ = 25°

• 

  θ = 30°

• 

  θ = 35°

• 

  θ = 40°

• 

  θ = 45°

• 

  θ = 50°

• 

  θ = 55°

• 

  θ = 60°

Рекомендации

• Скиллинг, Джон (1976), "Равномерные соединения однородных многогранников", Математические труды Кембриджского философского общества, 79 (3): 447–457, Дои:10.1017 / S0305004100052440, Г-Н  0397554.