Компьютер для работы с функциями - Computer for operations with functions

А компьютер для работы с (математическими) функциями (в отличие от обычного компьютер ) работает с функции на аппаратное обеспечение уровень (т.е. без программирования этих операций).^[1][2][3]

История

Вычислительная машина для операций с функциями была представлена ​​и разработана Михаилом Карцевым в 1967 году.^[1] Среди операций этой вычислительной машины были функции сложения, вычитания и умножения, сравнение функций, те же операции между функцией и числом, нахождение максимума функции, вычисление неопределенный интеграл, вычисление определенный интеграл из производная двух функций, производная двух функций, сдвиг функции по оси X и т. д. архитектура эта вычислительная машина была (используя современную терминологию) векторный процессор или же процессор массива, а центральное процессорное устройство (CPU), который реализует набор инструкций, содержащий инструкции, которые работают с одномерные массивы данных, называемых векторов. В нем был использован тот факт, что многие из этих операций можно интерпретировать как известные операции над векторами: сложение и вычитание функций - как сложение и вычитание векторов, вычисление определенного интеграла производной двух функций - как вычисление векторного произведения двух векторов, сдвиг функции по оси X - как вращение вектора вокруг осей и т. д.^[1] В 1966 году Хмельник предложил метод кодирования функций,^[2] т.е. представление функций "единым" (для функции в целом) позиционным кодом. Таким образом, указанные операции с функциями выполняются как уникальные компьютерные операции с такими кодами на «единственном». арифметический блок.^[3]

Позиционные коды функций одной переменной ^[2][3]

Главная идея

Позиционный код целого числа ${\displaystyle A}$ числовое обозначение цифр ${\displaystyle \alpha }$ в определенном позиционная система счисления формы

${\displaystyle A=\alpha _{0}\alpha _{1}\dots \alpha _{k}\dots \alpha _{n}}$.

Такой код можно назвать «линейным». В отличие от него позиционный код с одной переменной ${\displaystyle x}$ функция ${\displaystyle F(x)}$ имеет вид:

${\displaystyle F(x)={\begin{pmatrix}\ &\ &\cdots \\\ &\ &\alpha _{22}\cdots \alpha _{2k}\cdots \\\ &\alpha _{11}&\alpha _{12}\cdots \alpha _{1k}\cdots \\\alpha _{00}&\alpha _{01}&\alpha _{02}\cdots \alpha _{0k}\cdots \end{pmatrix}}}$

и так оно и есть плоский и «треугольный», поскольку цифры в нем образуют треугольник.

Значение позиционного числа ${\displaystyle A}$ выше это сумма

${\displaystyle A=\sum _{k=0}^{n}\alpha _{k}\rho ^{k}}$,

куда ${\displaystyle \rho }$ является основанием указанной системы счисления. Позиционный код функции с одной переменной соответствует двойному коду вида

${\displaystyle F(x)=\sum _{k=0}^{n}\sum _{m=0}^{k}\alpha _{mk}R^{k}y^{k-m}(1-y)^{m}}$,

куда ${\displaystyle R}$ целое положительное число, количество принятых значений ${\displaystyle \alpha }$, и ${\displaystyle y}$ определенная функция аргумента ${\displaystyle x}$.

Добавление позиционных кодов чисел связано с нести перевод в старшую цифру по схеме

${\displaystyle \alpha _{k}\longrightarrow \alpha _{k+1}}$.

Добавление позиционных кодов функций одной переменной также связано с переносом переноса в старшие разряды по схеме:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\ \ &\alpha _{k+1,m+1}\\\ \nearrow &\ \\\alpha _{k,m}\longrightarrow &\alpha _{k+1,m}\end{pmatrix}}}$.

Здесь одна и та же передача осуществляется одновременно в два высшие цифры.

р-нарный треугольный код

Треугольный код называется R-нет (и обозначается как ${\displaystyle TK_{R}}$), если числа ${\displaystyle \alpha _{mk}}$ берут их значения из множества

${\displaystyle D_{R}=\{-r_{1},-r_{1}+1,\dots ,-1,0,1,\dots ,r_{2}-1,r_{2}\}}$, куда ${\displaystyle r_{1},\;r_{2}\geq 0}$ и ${\displaystyle R_{}^{}=r_{1}+r_{2}+1}$.

Например, треугольный код - это троичный код. ${\displaystyle TK_{3}}$, если ${\displaystyle \alpha _{mk}\in (-1,0,1)}$, и четвертичный ${\displaystyle TK_{4}}$, если ${\displaystyle \alpha _{mk}\in (-2,-1,0,1)}$.
За р-нарных треугольных кодов справедливы следующие равенства:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\ \ &0\\\ \nearrow &\ \\aR\longrightarrow &0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\ \ &a\\\ \nearrow &\ \\0\longrightarrow &a\end{pmatrix}},\quad {\begin{pmatrix}\ \ &a\\\ \nearrow &\ \\0\longrightarrow &0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\ \ &0\\\ \nearrow &\ \\aR\longrightarrow &-a\end{pmatrix}},\quad {\begin{pmatrix}\ \ &0\\\ \nearrow &\ \\0\longrightarrow &a\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\ \ &-a\\\ \nearrow &\ \\aR\longrightarrow &0\end{pmatrix}}}$,

куда ${\displaystyle a}$ - произвольное число. Существует ${\displaystyle TK_{R}}$ произвольного целого действительного числа. Особенно, ${\displaystyle TK_{R}(\alpha )=\alpha }$. Также существует ${\displaystyle TK_{R}}$ любой функции вида ${\displaystyle y^{k}}$. Например, ${\displaystyle TK_{R}(y^{2})=(0\ 0\ 1)}$.

Однозначное сложение

в R-нарных треугольных кодах состоит в следующем:

• в данном ${\displaystyle (mk)}$-цифра определяется сумма ${\displaystyle S_{mk}^{}}$ цифр, которые добавляются ${\displaystyle \alpha _{mk},\ \beta _{mk}}$ и два носителя ${\displaystyle p_{m,k-1},\ p_{m-1,k-1}}$, переводится в эту цифру слева, т.е.

${\displaystyle S_{mk}^{}=\alpha _{mk}+\beta _{mk}+p_{m,k-1}+p_{m-1,k-1}}$,

• эта сумма представлена ​​в виде ${\displaystyle S_{mk}^{}=\sigma _{mk}+Rp_{mk}}$, куда ${\displaystyle \sigma _{mk}\in D_{R}}$,
• ${\displaystyle \sigma _{mk}}$ написано в ${\displaystyle (mk)}$-цифра сводного кода и перенос ${\displaystyle p_{mk}}$ из данной цифры переводится в ${\displaystyle (m,k+1)}$-цифра и ${\displaystyle (m+1,k+1)}$- цифра.

Эта процедура описывается (как и для однозначного сложения чисел) таблицей однозначного сложения, где все значения членов ${\displaystyle \alpha _{mk}\in D_{R}}$ и ${\displaystyle \beta _{mk}\in D_{R}}$ должны присутствовать и все значения переносов, появляющиеся при разложении суммы ${\displaystyle S_{mk}^{}=\sigma _{mk}+Rp_{mk}}$. Такую таблицу можно синтезировать для ${\displaystyle R>2.}$
Ниже мы написали таблицу однозначного сложения для ${\displaystyle R=3}$:

Smk	ТЗ(Smk)		${\displaystyle \sigma _{mk}^{}}$	${\displaystyle p_{mk}^{}}$
.	.	0	.	.
0	0	0	0	0
.	.	0	.	.
1	1	0	1	0
.	.	0	.	.
(-1)	(-1)	0	(-1)	0
.	.	1	.	.
2	(-1)	1	(-1)	1
.	.	1	.	.
3	0	1	0	1
.	.	1	.	.
4	1	1	1	1
.	.	(-1)	.	.
(-2)	1	(-1)	1	(-1)
.	.	(-1)	.	.
(-3)	0	(-1)	0	(-1)
.	.	(-1)	.	.
(-4)	(-1)	(-1)	(-1)	(-1)

Вычитание одной цифры

в R-ных треугольных кодах отличается от однозначного сложения только тем, что в данном ${\displaystyle (mk)}$-цифровать значение ${\displaystyle S_{mk}^{}}$ определяется по формуле

${\displaystyle S_{mk}^{}=\alpha _{mk}-\beta _{mk}+p_{m,k-1}+p_{m-1,k-1}}$.

Однозначное деление по параметру R

в R-образных треугольных кодах основывается на использовании корреляции:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\ \ &a\\\ \nearrow &\ \\0\longrightarrow &0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\ \ &0\\\ \nearrow &\ \\aR\longrightarrow &-a\end{pmatrix}}}$,

из этого следует, что деление каждой цифры причин переводит на две младшие цифры. Следовательно, цифры, полученные в результате этой операции, представляют собой сумму частного от деления этой цифры на R и двух переносов из двух старших цифр. Таким образом, при делении на параметр R

• в данном ${\displaystyle (mk)}$-цифра определяется следующая сумма

${\displaystyle S_{mk}^{}=\alpha _{mk}/R-p_{m+1,k}/R+p_{m+1,k+1}}$,

• эта сумма представлена ​​как ${\displaystyle S_{mk}^{}=\sigma _{mk}+p_{mk}/R}$, куда ${\displaystyle \sigma _{mk}\in D_{R}}$,
• ${\displaystyle \sigma _{mk}}$ написано в ${\displaystyle (mk)}$- цифра результирующего кода и перенос ${\displaystyle p_{mk}}$ из данной цифры переводится в ${\displaystyle (m-1,k-1)}$-цифра и ${\displaystyle (m-1,k)}$-цифра.

Эта процедура описывается таблицей однозначного деления по параметру R, где все значения термов и все значения переносов, появляющиеся при разложении суммы ${\displaystyle S_{mk}^{}=\sigma _{mk}+p_{mk}/R}$, должен присутствовать. Такую таблицу можно синтезировать для ${\displaystyle R>2.}$
Ниже в таблице приводится однозначное деление по параметру R для ${\displaystyle R=3}$:

Smk	ТЗ(Smk)		${\displaystyle \sigma _{mk}^{}}$	${\displaystyle p_{mk}^{}}$
.	.	0	.	.
0	0	0	0	0
.	.	1	.	.
1	0	0	1	0
.	.	(-1)	.	.
(-1)	0	0	(-1)	0
.	.	0	.	.
1/3	1	(-1/3)	0	1
.	.	1	.	.
2/3	(-1)	1/3	1	(-1)
.	.	1	.	.
4/3	1	(-1/3)	1	1
.	.	2	.	.
5/3	(-1)	1/3	2	(-1)
.	.	0	.	.
(-1/3)	(-1)	1/3	0	(-1)
.	.	(-1)	.	.
(-2/3)	1	(-1/3)	(-1)	1
.	.	(-1)	.	.
(-4/3)	(-1)	1/3	(-1)	(-1)
.	.	(-2)	.	.
(-5/3)	1	(-1/3)	(-2)	1

Сложение и вычитание

R-мерных треугольных кодов состоит (как и в позиционных кодах чисел) из последовательно выполняемых однозначных операций. Помните, что однозначные операции со всеми цифрами каждого столбца выполняются одновременно.

Умножение

R-нарных треугольных кодов. Умножение кода ${\displaystyle TK_{R}'^{}}$ к ${\displaystyle (mk)}$-цифра другого кода ${\displaystyle TK_{R}''^{}}$ состоит в ${\displaystyle (mk)}$-сдвиг кода ${\displaystyle TK_{R}'^{}}$, т.е. сдвигает k столбцов влево и m строк вверх. Умножение кодов ${\displaystyle TK_{R}'^{}}$ и ${\displaystyle TK_{R}''^{}}$ состоит в последующих ${\displaystyle (mk)}$-сдвиги кода ${\displaystyle TK_{R}'^{}}$ и добавление сдвинутого кода ${\displaystyle TK_{R}'^{}}$ с деталью-продуктом (как в позиционных кодах чисел).

Вывод

R-нарных треугольных кодов. Производная функции ${\displaystyle F(x)}$, определенный выше, является

${\displaystyle {\frac {\partial F(x)}{\partial x}}={\frac {\partial y}{\partial x}}{\frac {\partial F(x)}{\partial y}}}$.

Таким образом, вывод треугольных кодов функции ${\displaystyle F(x)}$ состоит в определении треугольного кода частной производной ${\displaystyle {\frac {\partial F(x)}{\partial y}}}$ и его умножение на известный треугольный код производной ${\displaystyle {\frac {\partial y}{\partial x}}}$. Определение треугольного кода частной производной ${\displaystyle {\frac {\partial F(x)}{\partial y}}}$ основан на соотношении

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}{\begin{pmatrix}\ &\ &0\\\ &0&\alpha _{mk}\\0&0&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\ &\ &(k-m)\alpha _{mk}\\\ &0&(k-2m)\alpha _{mk}\\0&0&(-m)\alpha _{mk}\end{pmatrix}}}$.

Метод вывода состоит из организации переносов из mk-разряда в (m + 1, k) -цифру и в (m-1, k) -цифру, и их суммирование в данной цифре выполняется так же, как и в однозначной. сложение цифр.

Кодирование и декодирование

R-нарных треугольных кодов. Функция, представленная серией вида

${\displaystyle F(x)=\sum _{k=0}^{n}A_{k}y^{k}}$,

с целыми коэффициентами ${\displaystyle A_{k}}$, могут быть представлены R-образными треугольными кодами, для этих коэффициентов и функций ${\displaystyle y^{k}}$ имеют R-ные треугольные коды (о чем упоминалось в начале раздела). С другой стороны, R-мерный треугольный код может быть представлен упомянутой серией, так как любой член ${\displaystyle \alpha _{mk}R^{k}y^{k}(1-y)^{m}}$ в позиционном разложении функции (соответствующей этому коду) может быть представлен аналогичным рядом.

Усечение

R-нарных треугольных кодов. Так называется операция по уменьшению количества «ненулевых» столбцов. Необходимость усечения возникает при появлении переносов за пределы цифровой сети. Усечение заключается в делении на параметр R. Все коэффициенты ряда, представленного кодом, уменьшаются в R раз, а дробные части этих коэффициентов отбрасываются. Также отбрасывается первый член ряда. Такое сокращение допустимо, если известно, что ряды функций сходятся. Усечение состоит в последовательно выполняемых одноразрядных операциях деления по параметру R. Однозначные операции над всеми цифрами строки выполняются одновременно, а переносы из нижней строки отбрасываются.

Масштаб

R-мерный треугольный код сопровождается масштабным коэффициентом M, аналогичным экспоненте для числа с плавающей запятой. Коэффициент M позволяет отображать все коэффициенты кодированного ряда в виде целых чисел. Фактор M умножается на R при усечении кода. Чтобы дополнительные коэффициенты M были выровнены, для этого необходимо усечь один из добавленных кодов. Для умножения множители M также умножаются.

Позиционный код для функций многих переменных ^[4]

Позиционный код функции двух переменных изображен на рисунке 1. Он соответствует «тройной» сумме вида: ${\displaystyle F(x,v)=\sum _{k=0}^{n}\sum _{m1=0}^{k}\sum _{m2=0}^{k}\alpha _{m1,m2,k}R^{k}y^{k-m1}(1-y)^{m1}z^{k-m2}(1-z)^{m2}}$,
куда ${\displaystyle R}$ - целое положительное число, количество значений числа ${\displaystyle \alpha _{m1,m2,k}}$, и ${\displaystyle y(x),~z(v)}$ - определенные функции аргументов ${\displaystyle x,~v}$ соответственно. На рисунке 1 узлы соответствуют цифрам ${\displaystyle \alpha _{m1,m2,k}}$, а в кружках значения индексов ${\displaystyle {m1,m2,k}}$ соответствующей цифры. Позиционный код функции двух переменных называется пирамидальным. Позиционный код называется R-nary (и обозначается как ${\displaystyle PK_{R}}$), если числа ${\displaystyle \alpha _{m1,m2,k}}$ принять значения из набора ${\displaystyle D_{R}}$. При добавлении кодов ${\displaystyle PK_{R}}$ перенос продолжается до четырех цифр и, следовательно, ${\displaystyle R\geq 7}$.

Позиционный код функции от нескольких переменных соответствует сумме вида

${\displaystyle F(x_{1},\ldots ,x_{i},\ldots ,x_{a})=\sum _{k=0}^{n}\sum _{m_{1}=0}^{k}\ldots \sum _{m_{a}=0}^{k}(\alpha _{m_{1},\ldots ,m_{a},k}R^{k}\prod _{i=1}^{a}(y_{i}^{k-m_{i}}(1-y_{i})^{m_{i}}))}$,

куда ${\displaystyle R}$ целое положительное число, количество значений цифры ${\displaystyle \alpha _{m_{1},\ldots ,m_{a},k}}$, и ${\displaystyle y_{i}(x_{i})}$ определенные функции аргументов ${\displaystyle x_{i}}$. Позиционный код функции нескольких переменных называется «гиперпирамидальным». На рисунке 2 изображен, например, позиционный гиперпирамидальный код функции трех переменных. На нем узлы соответствуют цифрам ${\displaystyle \alpha _{m1,m2,m3,k}}$, а кружки содержат значения индексов ${\displaystyle {m1,m2,m3,k}}$ соответствующей цифры. Позиционный гиперпирамидальный код называется R-нарным (и обозначается как ${\displaystyle GPK_{R}}$), если числа ${\displaystyle \alpha _{m_{1},\ldots ,m_{a},k}}$ принять значения из набора ${\displaystyle D_{R}}$. При добавлении кодов ${\displaystyle GPK_{R}}$ перенос распространяется на а-мерный куб, содержащий ${\displaystyle 2^{a}}$ цифры, а значит ${\displaystyle R\geq (2^{a-1}-1)}$.

Смотрите также

• Аппаратное ускорение
• Цифровой сигнальный процессор

Рекомендации

1. Малиновский, Б. (1995 (см. также здесь http://www.sigcis.org/files/SIGCISMC2010_001.pdf и английскую версию здесь )). История компьютерных технологий в их лицах (на русском). Киев: Фирма "КИТ". ISBN  5-7707-6131-8. Проверить значения даты в: | год = (помощь)
2. Хмельник, С.И. (1966 (http://lib.izdatelstwo.com/Papers2/s7.pdf см. также здесь на русском)). «Кодирование функций». 4. Кибернетика АН СССР. Проверить значения даты в: | год = (помощь)
3. Хмельник, С.И. (2004 (http://lib.izdatelstwo.com/Papers2/s7.pdf см. также здесь на русском)). Компьютерная арифметика функций. Алгоритмы и аппаратное обеспечение. Израиль: «Математика в компьютерах». ISBN  978-0-557-07520-1. Проверить значения даты в: | год = (помощь)
4. Хмельник, С.И. (1970 (http://lib.izdatelstwo.com/Papers2/s17.pdf см. также здесь на русском)). «Несколько типов кодов позиционных функций». 5. Кибернетика АН СССР. Проверить значения даты в: | год = (помощь)