Проводимость около порога перколяции - Conductivity near the percolation threshold

В смеси диэлектрика и металлического компонента проводимость ${\displaystyle \sigma }$ и диэлектрическая постоянная ${\displaystyle \epsilon }$ этой смеси показывают критическое поведение, если доля металлического компонента достигает порог перколяции.^[1] Поведение проводимости вблизи этого порога перколяции будет демонстрировать плавный переход от проводимости диэлектрического компонента к проводимости металлического компонента и может быть описано с помощью двух критические показатели s и t, тогда как диэлектрическая проницаемость будет отличаться при приближении к порогу с любой стороны. Чтобы включить частота зависимое поведение, резистор -конденсатор модель (модель R-C).

Геометрическая перколяция

Для описания такой смеси диэлектрика и металлического компонента используется модель перколяции связей: в регулярной решетке связь между двумя ближайшими соседями может быть занята с вероятностью ${\displaystyle p}$ или не занят вероятностью ${\displaystyle 1-p}$. Существует критическое значение ${\displaystyle p_{c}}$. Для вероятностей занятия ${\displaystyle p>p_{c}}$ образуется бесконечный кластер занятых связей. Это значение ${\displaystyle p_{c}}$ называется порог перколяции. Область вблизи этого порога перколяции может быть описана двумя критическими индексами ${\displaystyle \nu }$ и ${\displaystyle \beta }$ (видеть Критические показатели перколяции ).

С этими критическими показателями имеем длина корреляции, ${\displaystyle \xi }$

${\displaystyle \xi (p)\propto (p_{c}-p)^{-\nu }}$

и вероятность перколяции, П:

${\displaystyle P(p)\propto (p-p_{c})^{\beta }}$

Электрическая перколяция

Для описания электрической перколяции мы отождествляем занятые связи модели перколяции связей с металлическим компонентом, имеющим проводимость ${\displaystyle \sigma _{m}}$. И диэлектрическая составляющая с проводимостью ${\displaystyle \sigma _{d}}$ соответствует незанятым облигациям. Рассмотрим два следующих хорошо известных случая смесь проводник-изолятор и смесь сверхпроводник-проводник.

Смесь проводник-изолятор

В случае смеси проводник-изолятор имеем ${\displaystyle \sigma _{d}=0}$. Этот случай описывает поведение при приближении к порогу перколяции сверху:

${\displaystyle \sigma _{DC}(p)\propto \sigma _{m}(p-p_{c})^{t}}$

за ${\displaystyle p>p_{c}}$

Ниже порога перколяции мы не имеем проводимости из-за идеального изолятора и конечных металлических кластеров. Показатель t является одним из двух критических показателей электрической перколяции.

Смесь сверхпроводник-проводник

В другом известном случае сверхпроводник -проводниковая смесь имеем ${\displaystyle \sigma _{m}=\infty }$. Этот случай полезен для описания ниже порога перколяции:

${\displaystyle \sigma _{DC}(p)\propto \sigma _{d}(p_{c}-p)^{-s}}$

за ${\displaystyle p<p_{c}}$

Теперь, выше порога перколяции, проводимость становится бесконечной из-за бесконечных сверхпроводящих кластеров. А также получаем второй критический показатель s для электрической перколяции.

Проводимость около порога перколяции

В области порога перколяции проводимость принимает масштабный вид:^[2]

${\displaystyle \sigma (p)\propto \sigma _{m}|\Delta p|^{t}\Phi _{\pm }\left(h|\Delta p|^{-s-t}\right)}$

с ${\displaystyle \Delta p\equiv p-p_{c}}$ и ${\displaystyle h\equiv {\frac {\sigma _{d}}{\sigma _{m}}}}$

На пороге перколяции проводимость достигает значения:^[1]

${\displaystyle \sigma _{DC}(p_{c})\propto \sigma _{m}\left({\frac {\sigma _{d}}{\sigma _{m}}}\right)^{u}}$

с ${\displaystyle u={\frac {t}{t+s}}}$

Значения критических показателей

В разных источниках существуют разные значения критических показателей s, t и u в 3-х измерениях:

Значения критических показателей в 3-х измерениях

	Эфрос и другие.[1]	Клерк и другие.[2]	Бергман и другие.[3]
т	1,60	1,90	2,00
s	1,00	0,73	0,76
ты	0,62	0,72	0,72

Диэлектрическая постоянная

Диэлектрическая проницаемость также демонстрирует критическое поведение вблизи порога перколяции. Для действительной части диэлектрической проницаемости имеем:^[1]

${\displaystyle \epsilon _{1}(\omega =0,p)={\frac {\epsilon _{d}}{|p-p_{c}|^{s}}}}$

Модель R-C

В рамках модели R-C связи в модели перколяции представлены чистыми резисторами с проводимостью ${\displaystyle \sigma _{m}=1/R}$ для занятых связей и совершенными конденсаторами с проводимостью ${\displaystyle \sigma _{d}=iC\omega }$ (куда ${\displaystyle \omega }$ представляет угловая частота ) для незанятых облигаций. Теперь закон масштабирования принимает вид:^[2]

${\displaystyle \sigma (p,\omega )\propto {\frac {1}{R}}|\Delta p|^{t}\Phi _{\pm }\left({\frac {i\omega }{\omega _{0}}}|\Delta p|^{-(s+t)}\right)}$

Этот закон масштабирования содержит чисто мнимую переменную масштабирования и критическую шкалу времени.

${\displaystyle \tau ^{*}={\frac {1}{\omega _{0}}}|\Delta p|^{-(s+t)}}$

которое расходится при приближении к порогу перколяции как сверху, так и снизу.^[2]

Электропроводность для плотных сетей

Для плотной сети концепции перколяции не применимы напрямую, и эффективное сопротивление рассчитывается с точки зрения геометрических свойств сети.^[4] Предполагая, что длина кромки << расстояние между электродами и кромки равномерно распределены, можно считать, что потенциал равномерно падает от одного электрода к другому. Сопротивление листа такой случайной сети (${\displaystyle R_{sn}}$) можно записать через плотность кромок (проволоки) (${\displaystyle N_{E}}$), удельное сопротивление (${\displaystyle \rho }$), ширина (${\displaystyle w}$) и толщину (${\displaystyle t}$) ребер (проводов) как:

${\displaystyle R_{sn}\,=\,{\frac {\pi }{2}}{\frac {\rho }{w\,t\,{\sqrt {N_{E}}}}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}$

Рекомендации

1. Efros, A. L .; Шкловский, Б. И. (1976). «Критическое поведение проводимости и диэлектрической проницаемости вблизи порога перехода металл-неметалл». Phys. Статус Solidi B. 76 (2): 475–485. Дои:10.1002 / pssb.2220760205.
2. Clerc, J. P .; Giraud, G .; Laugier, J.M .; Удача, Дж. М. (1990). «Электропроводность бинарных неупорядоченных систем, перколяционных кластеров, фракталов и связанных с ними моделей». Adv. Phys. 39 (3): 191–309. Дои:10.1080/00018739000101501.
3. Бергман, Д. Дж .; Страуд, Д. (1992). «Физические свойства макроскопически неоднородных сред». В Х. Эренрайх и Д. Тернбулл (ред.). Физика твердого тела. 46. Academic Press inc. Дои:10.1016 / S0081-1947 (08) 60398-7.
4. Кумар, Анкуш; Видхьядхираджа, Н. С .; Кулкарни, Г.У. (2017). «Распределение тока в проводящих сетях из нанопроволоки». Журнал прикладной физики. 122 (4): 045101. Дои:10.1063/1.4985792.

Смотрите также

• Теория перколяции