Коэффициент корреляции - Correlation ratio

В статистика, то коэффициент корреляции это мера отношения между статистическая дисперсия в пределах отдельных категорий и дисперсия по всей генеральной совокупности или выборке. Мера определяется как соотношение из двух Стандартное отклонение представляющие эти типы вариаций. Контекст здесь такой же, как у коэффициент внутриклассовой корреляции, значение которого является квадратом коэффициента корреляции.

Определение

Предположим, что каждое наблюдение y_xi где Икс указывает категорию, к которой относится наблюдение, и я это метка конкретного наблюдения. Позволять п_Икс быть количеством наблюдений в категории Икс и

${\displaystyle {\overline {y}}_{x}={\frac {\sum _{i}y_{xi}}{n_{x}}}}$ и ${\displaystyle {\overline {y}}={\frac {\sum _{x}n_{x}{\overline {y}}_{x}}{\sum _{x}n_{x}}},}$

где ${\displaystyle {\overline {y}}_{x}}$ среднее значение категории Икс и ${\displaystyle {\overline {y}}}$ это среднее значение для всего населения. Коэффициент корреляции η (эта ) определяется как удовлетворение

${\displaystyle \eta ^{2}={\frac {\sum _{x}n_{x}({\overline {y}}_{x}-{\overline {y}})^{2}}{\sum _{x,i}(y_{xi}-{\overline {y}})^{2}}}}$

который можно записать как

${\displaystyle \eta ^{2}={\frac {{\sigma _{\overline {y}}}^{2}}{{\sigma _{y}}^{2}}},{\text{ where }}{\sigma _{\overline {y}}}^{2}={\frac {\sum _{x}n_{x}({\overline {y}}_{x}-{\overline {y}})^{2}}{\sum _{x}n_{x}}}{\text{ and }}{\sigma _{y}}^{2}={\frac {\sum _{x,i}(y_{xi}-{\overline {y}})^{2}}{n}},}$

т.е. взвешенная дисперсия среднего значения категории, деленная на дисперсию всех выборок.

Если соотношение между значениями ${\displaystyle x}$ и ценности ${\displaystyle {\overline {y}}_{x}}$ является линейным (что, безусловно, верно, когда есть только две возможности для Икс) это даст тот же результат, что и квадрат Пирсона коэффициент корреляции; в противном случае коэффициент корреляции будет больше по величине. Следовательно, его можно использовать для оценки нелинейных отношений.

Ассортимент

Коэффициент корреляции ${\displaystyle \eta }$ принимает значения от 0 до 1. Предел ${\displaystyle \eta =0}$ представляет собой частный случай отсутствия разброса среди средств различных категорий, в то время как ${\displaystyle \eta =1}$ означает отсутствие разброса по соответствующим категориям. ${\displaystyle \eta }$ не определено, если все точки данных полной генеральной совокупности принимают одно и то же значение.

пример

Предположим, есть распределение результатов тестирования по трем темам (категориям):

• Алгебра: 45, 70, 29, 15 и 21 (5 баллов)
• Геометрия: 40, 20, 30 и 42 (4 балла)
• Статистика: 65, 95, 80, 70, 85 и 73 (6 баллов).

Тогда средние значения для испытуемых составляют 36, 33 и 78, а общее среднее - 52.

Суммы квадратов отличий от средних по предметам составляют 1952 для алгебры, 308 для геометрии и 600 для статистики, добавляя к 2860. Общая сумма квадратов отличий от общего среднего составляет 9640. Разница между ними составляет 6780. также взвешенная сумма квадратов разностей между средними значениями испытуемых и общим средним значением:

${\displaystyle 5(36-52)^{2}+4(33-52)^{2}+6(78-52)^{2}=6780.}$

Это дает

${\displaystyle \eta ^{2}={\frac {6780}{9640}}=0.7033\ldots }$

предполагая, что большая часть общего разброса является результатом различий между темами, а не внутри тем. Извлечение квадратного корня дает

${\displaystyle \eta ={\sqrt {\frac {6780}{9640}}}=0.8386\ldots .}$

Для ${\displaystyle \eta =1}$ общий разброс выборки объясняется исключительно разбросом по категориям, а вовсе не разбросом внутри отдельных категорий. Для быстрого понимания просто представьте, что все баллы по алгебре, геометрии и статистике одинаковы соответственно, например 5 раз 36, 4 раза 33, 6 раз 78.

Предел ${\displaystyle \eta =0}$ относится к случаю без разброса по категориям, способствующего общему разбросу. Тривиальное требование для этой крайности состоит в том, чтобы все средние по категории были одинаковыми.

Пирсон против Фишера

Коэффициент корреляции был введен Карл Пирсон как часть дисперсионный анализ. Рональд Фишер прокомментировал:

В качестве описательной статистики полезность коэффициента корреляции чрезвычайно ограничена. Следует отметить, что количество степени свободы в числителе ${\displaystyle \eta ^{2}}$ зависит от количества массивов^[1]

которому Эгон Пирсон (Сын Карла) ответил, сказав

Опять же, давно зарекомендовавший себя метод, такой как использование коэффициента корреляции [§45 «Коэффициент корреляции» η], обходится в нескольких словах без адекватного описания, что, возможно, вряд ли справедливо по отношению к студенту, которому не предоставляется возможность судя по его размаху сам.^[2]

использованная литература

1. Рональд Фишер (1926) Статистические методы для научных работников, ISBN  0-05-002170-2 (отрывок)
2. Пирсон Э.С. (1926) "Обзор статистических методов для научных работников (Р. А. Фишер)", Научный прогресс, 20, 733-734. (отрывок)