Коэффициент связи резонаторов - Coupling coefficient of resonators

В коэффициент связи резонаторов - безразмерная величина, характеризующая взаимодействие двух резонаторов. Коэффициенты связи используются в теории резонаторных фильтров. Резонаторы могут быть как электромагнитными, так и акустическими. Коэффициенты связи вместе с резонансными частотами и внешними добротностями резонаторов являются обобщенными параметрами фильтров. Для настройки частотной характеристики фильтра достаточно оптимизировать только эти обобщенные параметры.

Эволюция термина

Этот термин был впервые введен в теорию фильтров М. Дишалом.^{[1][неосновной источник необходим ]} В какой-то степени это аналог коэффициент связи связанных индукторов. Значение этого термина многократно улучшалось по мере развития теории связанных резонаторы и фильтры. Более поздние определения коэффициента связи являются обобщениями или уточнениями предыдущих определений.

Коэффициент связи рассматривается как положительная константа

Ранее известные определения коэффициента связи резонаторов даны в монографии Г. Маттеи. и другие.^[2] Отметим, что эти определения являются приблизительными, поскольку они сформулированы в предположении, что связь между резонаторами достаточно мала. Коэффициент связи ${\displaystyle k}$ для случая двух одинаковых резонаторов определяется формулой

${\displaystyle k=|f_{o}-f_{e}|/f_{0},}$ (1)

куда ${\displaystyle f_{e},}$ ${\displaystyle f_{o}}$ частоты четных и нечетных связанные колебания ненагруженной пары резонаторов и ${\displaystyle f_{0}={\sqrt {f_{e}f_{o}}}.}$ Очевидно, что коэффициент связи, определяемый формулой (2), является положительной константой, характеризующей взаимодействие резонаторов на резонансная частота ${\displaystyle f_{0}.}$

В случае, если соответствующий эквивалент сеть имея сопротивление или же допуск инвертор загружен на оба порта с резонансным однопортовый сети могут быть согласованы с парой связанных резонаторов с равными резонансными частотами, коэффициент связи ${\displaystyle k}$ определяется формулой

${\displaystyle k={\frac {K_{12}}{\sqrt {x_{1}x_{2}}}}}$ (2)

для резонаторов последовательного типа и по формуле

${\displaystyle k={\frac {J_{12}}{\sqrt {b_{1}b_{2}}}}}$ (3)

для резонаторов параллельного типа. Здесь ${\displaystyle K_{12},}$ ${\displaystyle J_{12}}$ - параметры инвертора импеданса и инвертора проводимости, ${\displaystyle x_{1},}$ ${\displaystyle x_{2}}$ - параметры крутизны реактивного сопротивления первой и второй резонансных цепей последовательного типа на резонансной частоте ${\displaystyle f_{0},}$ и ${\displaystyle b_{1},}$ ${\displaystyle b_{2}}$ являются восприимчивость параметры наклона первой и второй резонансных сетей параллельного типа.

Когда резонаторы резонансные LC-контуры коэффициент связи в соответствии с (2) и (3) принимает значение

${\displaystyle k_{L}={\frac {L_{m}}{\sqrt {L_{1}L_{2}}}}}$ (4)

для схем с индуктивная связь и ценность

${\displaystyle k_{C}={\frac {C_{m}}{\sqrt {(C_{1}+C_{m})(C_{2}+C_{m})}}}.}$ (5)

для схем с емкостная связь. Здесь ${\displaystyle L_{1},}$ ${\displaystyle C_{1}}$ являются индуктивность и емкость первого контура, ${\displaystyle L_{2},}$ ${\displaystyle C_{2}}$ индуктивность и емкость второго контура, а ${\displaystyle L_{m},}$ ${\displaystyle C_{m}}$ находятся взаимная индуктивность и взаимная емкость. Формулы (4) и (5) давно известны в теории электрические сети. Они представляют собой значения коэффициентов индуктивной и емкостной связи связанных резонансных LC-контуров.

Коэффициент связи рассматривается как константа, имеющая знак

Уточнение приближенной формулы (1) выполнено в.^[3] Точная формула имеет вид

${\displaystyle k={\frac {f_{o}^{2}-f_{e}^{2}}{f_{o}^{2}+f_{e}^{2}}}.}$ (6)

При выводе этого выражения использовались формулы (4) и (5). Сейчас формула (6) общепризнана. Это дано в цитируемой монографии J-S. Hong.^[4] Видно, что коэффициент связи ${\displaystyle k}$ имеет отрицательное значение, если ${\displaystyle f_{o}<f_{e}.}$

В соответствии с новым определением (6) значение коэффициента индуктивной связи резонансных LC-контуров ${\displaystyle k_{L}}$ выражается формулой (4), как и раньше. Имеет положительное значение, когда ${\displaystyle L_{m}>0}$ и отрицательное значение, когда ${\displaystyle L_{m}<0.}$

Тогда как значение коэффициента емкостной связи резонансных LC-цепей ${\displaystyle k_{C}}$ всегда отрицательно. В соответствии с (6) формула (5) для коэффициента емкостной связи резонансных цепей принимает другой вид

${\displaystyle k_{C}={\frac {-C_{m}}{\sqrt {(C_{1}+C_{m})(C_{2}+C_{m})}}}.}$ (7)

Связь между электромагнитными резонаторами может осуществляться как магнитным, так и электрическим полем. Связь магнитным полем характеризуется коэффициентом индуктивной связи ${\displaystyle k_{L}}$ а связь электрическим полем характеризуется емкостным коэффициентом связи ${\displaystyle k_{C}.}$ Обычно абсолютные значения ${\displaystyle k_{L}}$ и ${\displaystyle k_{C}}$ монотонно затухают при увеличении расстояния между резонаторами. Скорость их распада может быть разной. Однако абсолютное значение их суммы может как уменьшаться во всем диапазоне расстояний, так и расти в некотором диапазоне расстояний.^[5]

Суммирование коэффициентов индуктивной и емкостной связи производится по формуле ^[3]

${\displaystyle k={\frac {k_{L}+k_{C}}{1+k_{L}k_{C}}}.}$ (8)

Эта формула получена из определения (6) и формул (4) и (7).

Отметим, что знак коэффициента связи ${\displaystyle k}$ само по себе не имеет значения. Частотная характеристика фильтра не изменится, если одновременно поменять знаки всех коэффициентов связи. Однако знак важен при сопоставлении двух коэффициентов связи и особенно при суммировании коэффициентов индуктивной и емкостной связи.

Коэффициент связи, рассматриваемый как функция частоты вынужденных колебаний

Два связанных резонатора могут взаимодействовать не только на резонансных частотах. Это подтверждается способностью передавать энергию вынужденных колебаний от одного резонатора к другому резонатору. Поэтому правильнее было бы характеризовать взаимодействие резонаторов непрерывной функцией частоты вынужденных колебаний ${\displaystyle k(f)}$ а не набор констант ${\displaystyle k_{p}}$ куда ${\displaystyle p}$ - порядковый номер резонанса.

Очевидно, что функция ${\displaystyle k(f)}$ должен соответствовать условию

${\displaystyle k(f)|_{f=f_{p}}=k_{p}.}$ (9)

Кроме того, функция ${\displaystyle k(f)}$ должен стать нулевым на этих частотах ${\displaystyle f_{z}}$ где передача высокочастотной мощности от одного резонатора к другому отсутствует, т.е. должно выполняться второе условие

${\displaystyle k(f)|_{f=f_{z}}=0.}$ (10)

Нуль передачи возникает, в частности, в резонансных цепях со смешанной индуктивно-емкостной связью, когда ${\displaystyle L_{m}>0.}$ Его частота ${\displaystyle k(f)}$ выражается формулой ^[6]

${\displaystyle f_{z}={\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {L_{m}}{(L_{1}L_{2}-L_{m}^{2})C_{m}}}}}$.(11)

Определение функции ${\displaystyle k(f)}$ обобщающее формулу (6) и удовлетворяющее условиям (9) и (10), было сформулировано на основе энергетического подхода в.^[6] Эта функция выражается формулой (8) через частотно-зависимые коэффициенты индуктивной и емкостной связи. ${\displaystyle k_{L}(f)}$ и ${\displaystyle k_{C}(f)}$ определяется формулами

${\displaystyle k_{L}(f)={\frac {{\dot {W}}_{12L}(f)}{\sqrt {[{\bar {W}}_{11L}(f)+{\bar {W}}_{11C}(f)][{\bar {W}}_{22L}(f)+{\bar {W}}_{22C}(f)]}}},}$ (12)

${\displaystyle k_{C}(f)={\frac {{\dot {W}}_{12C}(f)}{\sqrt {[{\bar {W}}_{11L}(f)+{\bar {W}}_{11C}(f)][{\bar {W}}_{22L}(f)+{\bar {W}}_{22C}(f)]}}}.}$ (13)

Здесь ${\displaystyle W}$ обозначает энергию высокочастотного электромагнитного поля, запасенную обоими резонаторами. Бар над ${\displaystyle W}$ обозначает статическую составляющую высокочастотной энергии, а точка обозначает амплитуду колебательной составляющей высокочастотной энергии. Нижний индекс ${\displaystyle L}$ обозначает магнитную часть высокочастотной энергии, а нижний индекс ${\displaystyle C}$ обозначает электрическую часть высокочастотной энергии. Нижние индексы 11, 12 и 22 обозначают части накопленной энергии, пропорциональные ${\displaystyle |U_{1}|^{2},}$ ${\displaystyle |U_{1}||U_{2}|}$ и ${\displaystyle |U_{2}|^{2}}$ куда ${\displaystyle U_{1}}$ - комплексная амплитуда высокочастотного напряжения на первом порте резонатора и ${\displaystyle U_{2}}$ - комплексная амплитуда напряжения на втором порте резонатора.

Явные функции частотно-зависимой индуктивной и емкостной связи для пары связанных резонансных контуров, полученные из (12) и (13), имеют вид ^[6]${\displaystyle k_{L}(f)={\frac {L_{m}}{\sqrt {L_{1}L_{2}}}}{\frac {2}{\sqrt {(1+f_{1}^{-2}f^{2})(1+f_{2}^{-2}f^{2})}}},}$ (14)

${\displaystyle k_{C}(f)={\frac {-C_{m}}{\sqrt {(C_{1}+C_{m})(C_{2}+C_{m})}}}{\frac {2}{\sqrt {(1+f_{1}^{2}f^{-2})(1+f_{2}^{2}f^{-2})}}}}$ (15)

куда ${\displaystyle f_{1},}$ ${\displaystyle f_{2}}$ - резонансные частоты первого и второго контуров, возмущенные муфтами. Видно, что значения этих функций при ${\displaystyle f=f_{1}=f_{2}}$ совпадают с константами ${\displaystyle k_{L}}$ и ${\displaystyle k_{C}}$ определяемые формулами (14) и (15). Кроме того, функция ${\displaystyle k(f)}$ вычисленное по формулам (8), (14) и (15) обращается в нуль при ${\displaystyle f_{z}}$ определяется формулой (11).

Коэффициенты связи в теории фильтров

Полосовые фильтры со встроенной топологией связи

В монографии изложена теория СВЧ-узкополосных полосовых фильтров, имеющих чебышевскую АЧХ.^[2] В этих фильтрах резонансные частоты всех резонаторов настроены на центральную частоту полосы пропускания. ${\displaystyle f_{0}.}$ Каждый резонатор связан максимум с двумя соседними резонаторами. Каждый из двух краевых резонаторов связан с одним соседним резонатором и одним из двух портов фильтра. Такая топология резонаторных связей называется линейной. В фильтрах со встроенной топологией связи существует только один путь передачи микроволновой энергии от входного порта к выходному порту.

Вывод приближенных формул для значений коэффициентов связи соседних резонаторов в фильтрах с встроенной топологией связи ${\displaystyle k_{i,i+1}}$ соответствующие частотной характеристике фильтра приведены в.^[2] Здесь ${\displaystyle i}$ и ${\displaystyle i+1}$ - порядковые номера связанных резонаторов в фильтре. Формулы были получены с использованием низких частот прототипы фильтров а также формулы (2) и (3). Амплитудно-частотная характеристика фильтров-прототипов нижних частот характеризуется функцией Чебышева первого рода. Формулы были впервые опубликованы в формате.^[7] У них есть форма

${\displaystyle k_{i,i+1}={\frac {f_{2}-f_{1}}{\sqrt {f_{1}f_{2}g_{i}g_{i+1}}}},}$ (16)

куда ${\displaystyle g_{i}}$ ${\displaystyle (i=0,1,2...n)}$ - нормализованные значения элементов прототипа, ${\displaystyle n}$ - порядок функции Чебышева, равный числу резонаторов, ${\displaystyle f_{1},}$ ${\displaystyle f_{2}}$ являются граничными частотами.

Значения элементов прототипа ${\displaystyle g_{i}}$ для заданной полосы пропускания фильтра вычисляются по формулам

${\displaystyle g_{0}=1,}$ ${\displaystyle g_{1}=2a_{1}/\gamma ,}$

${\displaystyle g_{i}={\frac {4a_{i-1}a_{i}}{b_{i-1}g_{i-1}}},(i=2,3,...n),}$ (17)

${\displaystyle g_{n+1}=1,}$ если ${\displaystyle n}$ даже,

${\displaystyle g_{n+1}=\mathrm {coth} ^{2}(\beta /4),}$ если ${\displaystyle n}$ странно.

Здесь использованы следующие обозначения

${\displaystyle \beta =2\mathrm {artanh} {\sqrt {10^{-\Delta L/10}}},}$ ${\displaystyle \gamma =\mathrm {sh} ({\frac {\beta }{2n}}),}$ (18)

${\displaystyle a_{i}=\mathrm {sin} {\frac {(2i-1)\pi }{2n}},}$ ${\displaystyle b_{i}=\gamma ^{2}+\mathrm {sin} ^{2}({\frac {i\pi }{n}}),(i=1,2,...n),}$

куда ${\displaystyle \Delta L}$ - требуемая пульсация полосы пропускания в дБ.

Формулы (16) являются приближенными не только потому, что использовались приближенные определения (2) и (3) для коэффициентов связи. Точные выражения для коэффициентов связи в фильтре-прототипе получены в.^[8] Однако как прежние, так и уточненные формулы остаются приблизительными при разработке практических фильтров. Точность зависит как от конструкции фильтра, так и от конструкции резонатора. Точность повышается при сужении дробной полосы пропускания.

Неточность формул (16) и их уточненного варианта обусловлена ​​частотной дисперсией коэффициентов связи, которая может сильно различаться для разных структур резонаторов и фильтров.^[9] Другими словами, оптимальные значения коэффициентов связи ${\displaystyle k_{i,i+1}}$ с частотой ${\displaystyle f_{0}}$ зависят как от характеристик требуемой полосы пропускания, так и от значений производных ${\displaystyle dk_{i,i+1}/df|_{f=f_{0}}.}$ Это означает точные значения коэффициентов ${\displaystyle k_{i,i+1}}$ гарантировать, что требуемая полоса пропускания не может быть известна заранее. Их можно установить только после оптимизации фильтра. Следовательно, формулы (16) могут использоваться для определения начальных значений коэффициентов связи перед оптимизацией фильтра.

Приближенные формулы (16) позволяют также установить ряд универсальных закономерностей, касающихся фильтров с топологией inline-связи. Например, расширение полосы пропускания текущего фильтра требует примерно пропорционального увеличения всех коэффициентов связи. ${\displaystyle k_{i,i+1}.}$ Коэффициенты ${\displaystyle k_{i,i+1}}$ симметричны относительно центрального резонатора или центральной пары резонаторов даже в фильтрах, имеющих неравные характеристические импедансы линий передачи во входных и выходных портах. Значение коэффициента ${\displaystyle k_{i,i+1}}$ монотонно убывает при переходе от внешних пар резонаторов к центральной паре.

Реальные микроволновые фильтры с встроенной топологией связи, в отличие от их прототипов, могут иметь нули передачи в полосах задерживания.^[10] Нули передачи значительно улучшают избирательность фильтра. Одна из причин возникновения нулей - частотная дисперсия коэффициентов связи ${\displaystyle k_{i,i+1}}$ для одной или нескольких пар резонаторов, выражающихся в их исчезновении на частотах нулей пропускания.^[11]

Полосовые фильтры с поперечной связью

Чтобы генерировать нули передачи в полосах заграждения с целью улучшения избирательности фильтра, в фильтрах часто выполняется ряд дополнительных связей помимо ближайших связей. Их называют перекрестными соединениями. Эти соединения создают основу для нескольких волновых путей от входного порта к выходному порту. Амплитуды волн, передаваемых разными путями, могут компенсировать себя на некоторых отдельных частотах при суммировании на выходном порте. Такая компенсация приводит к нулям передачи.

В фильтрах с перекрестными связями удобно характеризовать все фильтрующие связи в целом с помощью матрицы связи. ${\displaystyle \mathbf {M} }$ измерения ${\displaystyle n\times n}$,.^[4][12] Он симметричный. Каждый его недиагональный элемент ${\displaystyle M_{ij}}$ коэффициент связи яй и jth резонаторы ${\displaystyle k_{ij}.}$ Каждый диагональный элемент ${\displaystyle M_{ii}}$ нормализованная восприимчивость я-й резонатор. Все диагональные элементы ${\displaystyle M_{ii}}$ в настроенном фильтре равны нулю, потому что на резонансной частоте чувствительность исчезает.

Важное достоинство матрицы ${\displaystyle \mathbf {M} }$ заключается в том, что он позволяет напрямую вычислять частотную характеристику эквивалентной сети, имеющей индуктивно связанные резонансные контуры.^[4][12] Поэтому эту матрицу удобно использовать при разработке фильтров с перекрестной связью. Матрицы связи ${\displaystyle \mathbf {M} }$, в частности, используются как грубые модели фильтров.^[13] Использование грубой модели позволяет многократно ускорить оптимизацию фильтра, так как вычисление АЧХ для грубой модели не требует затрат Время процессора относительно расчета для реального фильтра.

Коэффициент связи в терминах векторных полей

Поскольку коэффициент связи является функцией как взаимной индуктивности, так и емкости, он также может быть выражен через векторные поля ${\displaystyle \mathbf {E} }$ и ${\displaystyle \mathbf {H} }$. Хонг предположил, что коэффициент связи является суммой нормированных интегралов перекрытия ^[14][15]

${\displaystyle \kappa =\kappa _{E}+\kappa _{M},}$ (19)

куда

${\displaystyle \kappa _{E}={\frac {\int _{V}\epsilon \mathbf {E} _{1}{\dot {\mathbf {E} }}_{2}dv}{\sqrt {\int _{V}\epsilon |\mathbf {E} _{1}|^{2}dv\times \int _{V}\epsilon |\mathbf {E} _{2}|^{2}dv}}}}$(20)

и

${\displaystyle \kappa _{M}={\frac {\int _{V}\mu \mathbf {H} _{1}{\dot {\mathbf {H} }}_{2}dv}{\sqrt {\int _{V}\epsilon |\mathbf {E} _{1}|^{2}dv\times \int _{V}\epsilon |\mathbf {E} _{2}|^{2}dv}}}.}$(21)

Напротив, на основе формализма связанных мод Авай и Чжан вывели выражения для ${\displaystyle \kappa }$ что в пользу использования отрицательного знака, т. е.^[16][17]

${\displaystyle \kappa =\kappa _{M}-\kappa _{E}.}$ (22)

Формулы (19) и (22) являются приближенными. Они соответствуют точной формуле (8) только в случае недельной связи. Формулы (20) и (21) в отличие от формул (12) и (13) также являются приближенными, поскольку они не описывают частотную дисперсию, которая часто может проявляться в виде нулей пропускания в частотной характеристике многорезонаторной полосы пропускания. фильтр.

Используя уравнение движения Лагранжа, было продемонстрировано, что взаимодействие между двумя резонаторами с разъемным кольцом, которые образуют метадимер, зависит от разницы между двумя членами. В этом случае связанная энергия выражалась через поверхностный заряд и плотность тока.^[18][19][20]

Недавно, основываясь на теории энергопереходных мод (ECMT),^[21] формализм связанных мод в форме задачи на собственные значения показал, что коэффициент связи действительно является разницей между магнитной и электрической составляющими. ${\displaystyle \kappa _{M}}$ и ${\displaystyle \kappa _{E}}$ ^[22] Используя теорему Пойнтинга в ее микроскопической форме, было показано, что${\displaystyle \kappa }$ можно выразить через энергию взаимодействия между модами резонаторов.

Рекомендации

1. Дишал М. (сентябрь 1949 г.) "Разработка диссипативных полосовых фильтров, обеспечивающих желаемые точные амплитудно-частотные характеристики", Proc. IRE, Vol. 37, № 9, С. 1050–1069.
2. Matthaei, G.L., Young, L., Jones, E.M.T. «Микроволновые фильтры, схемы согласования импеданса и соединительные структуры», Artech House, Inc., Норвуд. (1980) 1096 с.
3. Тюрнев В.В., Беляев Б.А. (1990) «Взаимодействие параллельных микрополосковых резонаторов», Электронная техника. Сер. Электроника СВЧ, Выпуск 4 (428), С. 25–30 (на русском).
4. Хонг, Дж. С., «Микрополосковые фильтры для ВЧ / СВЧ-приложений», Hoboken, John Wiley & Sons, (2011).
5. Беляев Б.А., Титов М.М., Тюрнев В.В. (2000) «Коэффициент связи нерегулярных микрополосковых резонаторов», Радиофизика и квантовая электроника, Vol. 43, № 8, С. 649–653.
6. Тюрнев, В.В. (2002) «Коэффициенты связи несимметричной пары СВЧ резонаторов», Журнал коммуникационных технологий и электроники, Vol. 47, № 1, С. 1–8.
7. Кон, С. (1957) "Прямой резонаторный фильтр", Proc. IRE, Vol. 45, № 2, С. 187–196.
8. Тюрнев, В. В. (2008). «Прямой вывод и уточнение обобщенных формул Кона-Маттеи для коэффициентов связи резонатора в микроволновом фильтре». Журнал коммуникационных технологий и электроники. Pleiades Publishing Ltd. 53 (5): 554–557. Дои:10.1134 / с1064226908050112. ISSN  1064-2269. S2CID  120625658.
9. Тюрнев, В. В. (2009). «Влияние частотной дисперсии коэффициентов связи резонаторов на точность формул прямого синтеза для СВЧ-фильтров». Журнал коммуникационных технологий и электроники. Pleiades Publishing Ltd. 54 (3): 298–301. Дои:10.1134 / с1064226909030073. ISSN  1064-2269. S2CID  121778094.
10. Беляев Б.А., Лексиков А.А., Тюрнев В.В. (2004) «Частотно-селективные особенности многосекционных фильтров на основе регулярных микрополосковых резонаторов», Журнал коммуникационных технологий и электроники, Vol. 49, № 11, С. 1228–1236.
11. Беляев Б.А., Тюрнев В.В. (1992) «Частотно-зависимые коэффициенты связи микрополосковых резонаторов», Электронная техника. Сер. СВЧ-техника, Выпуск 4 (448), С. 23–27, (на русском).
12. Кэмерон, Р.Дж., Кудсия, К.М., Мансур, Р.Р. «Микроволновые фильтры для систем связи: основы, конструкция и приложения», Хобокен, John Wiley & Sons, Inc., (2007) 771 стр.
13. Amari, S .; LeDrew, C .; Menzel, W. (2006). «Оптимизация картографирования плоских СВЧ-фильтров со связанными резонаторами». Протоколы IEEE по теории и методам микроволнового излучения. Институт инженеров по электротехнике и радиоэлектронике (IEEE). 54 (5): 2153–2159. Дои:10.1109 / tmtt.2006.872811. ISSN  0018-9480. S2CID  14743641.
14. Hong, J.-S. (2000). «Связи асинхронно перестраиваемых связанных СВЧ-резонаторов». Протоколы IEE - Микроволны, антенны и распространение. Институт инженерии и технологий (IET). 147 (5): 354. Дои:10.1049 / ip-карта: 20000675. ISSN  1350-2417.
15. Дж. С. Хонг, Микрополосковые фильтры для ВЧ / СВЧ-приложений, Серия Wiley в СВЧ и оптической технике, 2-е изд. (Wiley, Нью-Йорк, 2011).
16. I. Awai, Y. Zhang, Электрон. Commun. Jpn. Часть 2, Электрон. 90, 11 (2007).
17. I. Awai, IECIE Trans. Электрон. E88-C, 2295 (2005).
18. Пауэлл, Дэвид А .; Лапин, Михаил; Горкунов, Максим В .; Шадривов, Илья В .; Кившарь, Юрий С. (19.10.2010). «Настройка метаматериала путем манипулирования ближнеполевым взаимодействием». Физический обзор B. Американское физическое общество (APS). 82 (15): 155128. Дои:10.1103 / Physrevb.82.155128. ISSN  1098-0121. S2CID  377538.
19. Пауэлл, Дэвид А .; Ханнэм, Кирсти; Шадривов, Илья В .; Кившарь, Юрий С. (15.06.2011). «Ближнепольное взаимодействие скрученных кольцевых резонаторов». Физический обзор B. Американское физическое общество (APS). 83 (23): 235420. Дои:10.1103 / Physrevb.83.235420. HDL:1885/70482. ISSN  1098-0121. S2CID  14597484.
20. Liu, H .; Генов, Д. А .; Wu, D. M .; Лю, Ю. М .; Liu, Z. W .; Sun, C .; Zhu, S. N .; Чжан, X. (14 августа 2007 г.). «Магнитная плазмонная гибридизация и оптическая активность на оптических частотах в металлических наноструктурах». Физический обзор B. Американское физическое общество (APS). 76 (7): 073101. Дои:10.1103 / Physrevb.76.073101. ISSN  1098-0121.
21. Elnaggar, Sameh Y .; Терво, Ричард Дж .; Маттар, Саба М. (2015). «Теория связанных мод для электромагнитных резонаторов». Протоколы IEEE по теории и методам микроволнового излучения. Институт инженеров по электротехнике и радиоэлектронике (IEEE). 63 (7): 2115–2123. arXiv:1305.6085. Дои:10.1109 / tmtt.2015.2434377. ISSN  0018-9480. S2CID  17850310.
22. Elnaggar, Sameh Y .; Терво, Ричард Дж .; Маттар, Саба М. (21 ноября 2015 г.). «Общие выражения и физическая природа коэффициента связи произвольно настроенных связанных электромагнитных резонаторов». Журнал прикладной физики. Издательство AIP. 118 (19): 194901. Дои:10.1063/1.4935634. ISSN  0021-8979.

внешняя ссылка

• Тюрнев, В.В. (2010) «Коэффициенты связи резонаторов в теории микроволновых фильтров», Прогресс в исследованиях в области электромагнетизма B, Vol. 21. С. 47–67.