Теорема Казинса - Cousins theorem - Wikipedia

В реальный анализ, раздел математики, Теорема Кузена утверждает, что:

Если для каждой точки замкнутого региона (говоря современным языком "закрыто и ограниченный ") есть круг конечного радиуса (в современном понимании,"район "), то область может быть разделена на конечное число подобластей, так что каждая подобласть является внутренней по отношению к окружности данного набора, имеющей центр в подобласти.[1]

Первоначально этот результат был доказан Пьером Кузеном, студентом Анри Пуанкаре, в 1895 г. и расширяет первоначальный Теорема Гейне – Бореля на компактность для произвольных охватывает из компактный подмножества . Однако Пьер Кузен не получил никакого кредита. Теорема Кузена обычно приписывалась Анри Лебег как Теорема Бореля – Лебега.. Лебег знал об этом результате в 1898 году и доказал его в своей диссертации 1903 года.[1]

Говоря современным языком, это сформулировано так:

Позволять быть полным покрытием [а, б], то есть набор замкнутых подынтервалов в [а, б] со свойством, что для каждого Икс∈[а, б] существует δ> 0 так что содержит все подынтервалы [а, б] который содержит Икс и длина меньше чем δ. Тогда существует разбиение {я1, я2,...,яп} неперекрывающихся интервалов для [а, б], куда яя=[Икся-1, Икся]∈ и а = х01 <... <хп= b для всех 1≤i≤n.

В интеграции Henstock – Kurzweil

Теорема Кузена играет важную роль в изучении Интеграция Хенштока – Курцвейла, и в этом контексте он известен как Лемма кузена или теорема тонкости.

А измерить - строго положительная вещественнозначная функция , а отмеченный раздел конечная последовательность[2][3]

Учитывая калибр и раздел с тегами из , мы говорим является -отлично если для всех , у нас есть , куда обозначает открытый мяч радиуса сосредоточен на . Лемма Кузена теперь формулируется так:

Если , то каждый калибр имеет -отлично раздел.[4]

Примечания

  1. ^ а б Хильдебрандт 1925, стр. 29
  2. ^ Гордон, Рассел (1994-08-01). Интегралы Лебега, Данжуа, Перрона и Хенстока. Аспирантура по математике. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. ISBN  978-0-8218-3805-1.
  3. ^ Курц, Дуглас С; Шварц, Чарльз В. (октябрь 2011 г.). «Теории интеграции». Серии в реальном анализе. Дои:10.1142/8291. ISSN  1793-1134.
  4. ^ Бартл 2001, стр. 11

Рекомендации

  • Хильдебрандт, Т. Х. (1925). Теорема Бореля и ее обобщения. В J. C. Abbott (Ed.), The Chauvenet Papers: a collection of the Prize Compository Papers in Mathematics. Математическая ассоциация Америки.
  • Раман, М. Дж. (1997). Понимание компактности: историческая перспектива, Магистр гуманитарных наук. Калифорнийский университет в Беркли. arXiv:1006.4131.
  • Бартл, Р. Г. (2001). Современная теория интеграции, Аспирантура по математике 32, Американское математическое общество.