Хрустальная основа - Crystal base

Не путать с кристалл (математика).

В алгебре кристаллическое основание или каноническая основа является базой представления, так что образующие квантовая группа или полупростая алгебра Ли иметь с ним особо простое действие. Кристаллические основы были представлены Кашивара  (1990 ) и Люстиг  (1990 ) (под названием канонических основ).

Определение

Как следствие определяющих соотношений квантовая группа ${displaystyle U_{q}(G)}$ можно рассматривать как алгебру Хопфа над полем всех рациональных функций неопределенного q над ${displaystyle mathbb {Q} }$, обозначенный ${displaystyle mathbb {Q} (q)}$.

Для простого рута ${displaystyle alpha _{i}}$ и неотрицательное целое число ${displaystyle n}$, определить

${displaystyle {egin{aligned}e_{i}^{(0)}=f_{i}^{(0)}&=1e_{i}^{(n)}&={frac {e_{i}^{n}}{[n]_{q_{i}}!}}[6pt]f_{i}^{(n)}&={frac {f_{i}^{n}}{[n]_{q_{i}}!}}end{aligned}}}$

В интегрируемом модуле ${displaystyle M}$, а для веса ${displaystyle lambda }$, вектор ${displaystyle uin M_{lambda }}$ (т.е. вектор ${displaystyle u}$ в ${displaystyle M}$ с весом ${displaystyle lambda }$) однозначно разлагается на суммы

${displaystyle u=sum _{n=0}^{infty }f_{i}^{(n)}u_{n}=sum _{n=0}^{infty }e_{i}^{(n)}v_{n},}$

где ${displaystyle u_{n}in ker(e_{i})cap M_{lambda +nalpha _{i}}}$, ${displaystyle v_{n}in ker(f_{i})cap M_{lambda -nalpha _{i}}}$, ${displaystyle u_{n}eq 0}$ только если ${displaystyle n+{frac {2(lambda ,alpha _{i})}{(alpha _{i},alpha _{i})}}geq 0}$, и ${displaystyle v_{n}eq 0}$ только если ${displaystyle n-{frac {2(lambda ,alpha _{i})}{(alpha _{i},alpha _{i})}}geq 0}$.

Линейные отображения ${displaystyle { ilde {e}}_{i},{ ilde {f}}_{i}:M o M}$ можно определить на ${displaystyle M_{lambda }}$ от

${displaystyle { ilde {e}}_{i}u=sum _{n=1}^{infty }f_{i}^{(n-1)}u_{n}=sum _{n=0}^{infty }e_{i}^{(n+1)}v_{n},}$

${displaystyle { ilde {f}}_{i}u=sum _{n=0}^{infty }f_{i}^{(n+1)}u_{n}=sum _{n=1}^{infty }e_{i}^{(n-1)}v_{n}.}$

Позволять ${displaystyle A}$ - область целостности всех рациональных функций из ${displaystyle mathbb {Q} (q)}$ которые регулярно в ${displaystyle q=0}$ (т.е. рациональная функция ${displaystyle f(q)}$ является элементом ${displaystyle A}$ тогда и только тогда, когда существуют многочлены ${displaystyle g(q)}$ и ${displaystyle h(q)}$ в кольце многочленов ${displaystyle mathbb {Q} [q]}$ такой, что ${displaystyle h(0)eq 0}$, и ${displaystyle f(q)=g(q)/h(q)}$). А кристаллическое основание для ${displaystyle M}$ упорядоченная пара ${displaystyle (L,B)}$, так что

• ${displaystyle L}$ это бесплатный ${displaystyle A}$-подмодуль ${displaystyle M}$ такой, что ${displaystyle M=mathbb {Q} (q)otimes _{A}L;}$
• ${displaystyle B}$ это ${displaystyle mathbb {Q} }$-базис векторного пространства ${displaystyle L/qL}$ над ${displaystyle mathbb {Q} ,}$
• ${displaystyle L=oplus _{lambda }L_{lambda }}$ и ${displaystyle B=sqcup _{lambda }B_{lambda }}$, где ${displaystyle L_{lambda }=Lcap M_{lambda }}$ и ${displaystyle B_{lambda }=Bcap (L_{lambda }/qL_{lambda }),}$
• ${displaystyle { ilde {e}}_{i}Lsubset L}$ и ${displaystyle { ilde {f}}_{i}Lsubset L{ ext{ for all }}i,}$
• ${displaystyle { ilde {e}}_{i}Bsubset Bcup {0}}$ и ${displaystyle { ilde {f}}_{i}Bsubset Bcup {0}{ ext{ for all }}i,}$
• ${displaystyle { ext{for all }}bin B{ ext{ and }}b'in B,{ ext{ and for all }}i,quad { ilde {e}}_{i}b=b'{ ext{ if and only if }}{ ilde {f}}_{i}b'=b.}$

Чтобы выразить это в более неформальной обстановке, действия ${displaystyle e_{i}f_{i}}$ и ${displaystyle f_{i}e_{i}}$ обычно уникальны в ${displaystyle q=0}$ на интегрируемом модуле ${displaystyle M}$. Линейные отображения ${displaystyle { ilde {e}}_{i}}$ и ${displaystyle { ilde {f}}_{i}}$ на модуле вводятся так, чтобы действия ${displaystyle { ilde {e}}_{i}{ ilde {f}}_{i}}$ и ${displaystyle { ilde {f}}_{i}{ ilde {e}}_{i}}$ регулярно в ${displaystyle q=0}$ на модуле. Существует ${displaystyle mathbb {Q} (q)}$-базис векторов весов ${displaystyle { ilde {B}}}$ для ${displaystyle M}$, в отношении которых действия ${displaystyle { ilde {e}}_{i}}$ и ${displaystyle { ilde {f}}_{i}}$ регулярно в ${displaystyle q=0}$ для всех я. Затем модуль ограничивается бесплатными ${displaystyle A}$-модуль, порожденный базисом, и базисными векторами, ${displaystyle A}$-подмодуль и действия ${displaystyle { ilde {e}}_{i}}$ и ${displaystyle { ilde {f}}_{i}}$ оцениваются в ${displaystyle q=0}$. Кроме того, базис можно выбрать так, чтобы при ${displaystyle q=0}$, для всех ${displaystyle i}$, ${displaystyle { ilde {e}}_{i}}$ и ${displaystyle { ilde {f}}_{i}}$ представлены взаимным транспонированием и отображают базисные векторы в базисные векторы или 0.

Кристаллическую основу можно представить в виде ориентированный граф с маркированными краями. Каждая вершина графа представляет собой элемент ${displaystyle mathbb {Q} }$-основа ${displaystyle B}$ из ${displaystyle L/qL}$, и направленное ребро, обозначенное я, и направлен из вершины ${displaystyle v_{1}}$ к вершине ${displaystyle v_{2}}$, представляет, что ${displaystyle b_{2}={ ilde {f}}_{i}b_{1}}$ (и, что то же самое, ${displaystyle b_{1}={ ilde {e}}_{i}b_{2}}$), где ${displaystyle b_{1}}$ является базовым элементом, представленным ${displaystyle v_{1}}$, и ${displaystyle b_{2}}$ является базовым элементом, представленным ${displaystyle v_{2}}$. График полностью определяет действия ${displaystyle { ilde {e}}_{i}}$ и ${displaystyle { ilde {f}}_{i}}$ в ${displaystyle q=0}$. Если интегрируемый модуль имеет кристаллическую основу, то модуль неприводим тогда и только тогда, когда граф, представляющий кристаллическую основу, является связным (граф называется «связным», если множество вершин не может быть разбито на объединение нетривиальных непересекающихся подмножеств ${displaystyle V_{1}}$ и ${displaystyle V_{2}}$ таких, что нет ребер, соединяющих любую вершину в ${displaystyle V_{1}}$ в любую вершину в ${displaystyle V_{2}}$).

Для любого интегрируемого модуля с кристаллическим основанием весовой спектр для кристаллического основания такой же, как весовой спектр для модуля, и, следовательно, весовой спектр для кристаллического основания такой же, как весовой спектр для соответствующего модуля соответствующего модуля. Алгебра Каца – Муди. Кратности весов в кристаллической базе также такие же, как их кратности в соответствующем модуле соответствующей алгебры Каца – Муди.

Теорема Кашивары гласит, что каждый интегрируемый модуль старшего веса имеет кристаллическую основу. Точно так же каждый интегрируемый модуль наименьшего веса имеет кристаллическую основу.

Тензорные произведения кристаллических основ

Позволять ${displaystyle M}$ быть интегрируемым модулем с кристаллической основой ${displaystyle (L,B)}$ и ${displaystyle M'}$ быть интегрируемым модулем с кристаллической основой ${displaystyle (L',B')}$. Для кристаллических основ побочный продукт ${displaystyle Delta }$, данный

${displaystyle {egin{aligned}Delta (k_{lambda })&=k_{lambda }otimes k_{lambda }Delta (e_{i})&=e_{i}otimes k_{i}^{-1}+1otimes e_{i}Delta (f_{i})&=f_{i}otimes 1+k_{i}otimes f_{i}end{aligned}}}$

принимается. Интегрируемый модуль ${displaystyle Motimes _{mathbb {Q} (q)}M'}$ имеет кристаллическую основу ${displaystyle (Lotimes _{A}L',Botimes B')}$, где ${displaystyle Botimes B'=left{botimes _{mathbb {Q} }b':bin B, b'in B'ight}}$. Для базисного вектора ${displaystyle bin B}$, определить

${displaystyle varepsilon _{i}(b)=max left{ngeq 0:{ ilde {e}}_{i}^{n}beq 0ight}}$

${displaystyle varphi _{i}(b)=max left{ngeq 0:{ ilde {f}}_{i}^{n}beq 0ight}}$

Действия ${displaystyle { ilde {e}}_{i}}$ и ${displaystyle { ilde {f}}_{i}}$ на ${displaystyle botimes b'}$ даны

${displaystyle {egin{aligned}{ ilde {e}}_{i}(botimes b')&={egin{cases}{ ilde {e}}_{i}botimes b'&varphi _{i}(b)geq varepsilon _{i}(b')otimes { ilde {e}}_{i}b'&varphi _{i}(b)<varepsilon _{i}(b')end{cases}}{ ilde {f}}_{i}(botimes b')&={egin{cases}{ ilde {f}}_{i}botimes b'&varphi _{i}(b)>varepsilon _{i}(b')otimes { ilde {f}}_{i}b'&varphi _{i}(b)leq varepsilon _{i}(b')end{cases}}end{aligned}}}$

Разложение продукта двух интегрируемых модулей старшего веса на неприводимые подмодули определяется разложением графа кристаллической базы на его связанные компоненты (т. Е. Определяются наивысшие веса подмодулей и определяется кратность каждого старшего веса) .

использованная литература

• Джантцен, Йенс Карстен (1996), Лекции о квантовых группах, Аспирантура по математике, 6, Провиденс, Р.И.: Американское математическое общество, ISBN  978-0-8218-0478-0, Г-Н  1359532
• Кашивара, Масаки (1990), «Кристаллизация q-аналога универсальных обертывающих алгебр», Коммуникации по математической физике, 133 (2): 249–260, Дои:10.1007 / bf02097367, ISSN  0010-3616, Г-Н  1090425
• Люстиг, Г. (1990), "Канонические базисы, возникающие из квантованных обертывающих алгебр", Журнал Американского математического общества, 3 (2): 447–498, Дои:10.2307/1990961, ISSN  0894-0347, Г-Н  1035415

внешние ссылки

• Хрустальная основа в nLab