Цилиндрические мультипольные моменты - Cylindrical multipole moments

Цилиндрические мультипольные моменты - коэффициенты в расширение серии из потенциал который изменяется логарифмически с расстоянием до источника, т. е. как ${displaystyle ln R}$. Такие потенциалы возникают в электрический потенциал зарядов на протяженных линиях, и аналогичные источники для магнитный потенциал и гравитационный потенциал.

Для ясности мы проиллюстрируем расширение для одного линейного заряда, а затем обобщим на произвольное распределение линейных зарядов. В этой статье выделенные координаты, такие как ${displaystyle (ho ^{prime }, heta ^{prime })}$ относятся к положению линейного заряда (ей), тогда как координаты без штриха, такие как ${displaystyle (ho , heta )}$ относятся к точке, в которой наблюдается потенциал. Мы используем цилиндрические координаты повсюду, например, произвольный вектор ${displaystyle mathbf {r} }$ имеет координаты ${displaystyle (ho , heta ,z)}$куда ${displaystyle ho }$ это радиус от ${displaystyle z}$ ось, ${displaystyle heta }$ это азимутальный угол и ${displaystyle z}$ это нормальный Декартова координата. Предполагается, что линейные заряды бесконечно длинные и совпадают с ${displaystyle z}$ ось.

Цилиндрические мультипольные моменты линейного заряда

Рисунок 1: Определения для цилиндрических многополюсников; глядя вниз ${displaystyle z^{prime }}$ ось

В электрический потенциал линейного заряда ${displaystyle lambda }$ расположен в ${displaystyle (ho ^{prime }, heta ^{prime })}$ дан кем-то

${displaystyle Phi (ho , heta )={frac {-lambda }{2pi epsilon }}ln R={frac {-lambda }{4pi epsilon }}ln left|ho ^{2}+left(ho ^{prime }ight)^{2}-2ho ho ^{prime }cos( heta - heta ^{prime })ight|}$

куда ${displaystyle R}$ - кратчайшее расстояние между линейным зарядом и точкой наблюдения.

По симметрии электрический потенциал бесконечного линейного заряда не имеет ${displaystyle z}$-зависимость. Линия заряда ${displaystyle lambda }$ это заряд на единицу длины в ${displaystyle z}$-направление и имеет единицы (заряд / длина). Если радиус ${displaystyle ho }$ точки наблюдения больше чем радиус ${displaystyle ho ^{prime }}$ линейного заряда, мы можем вычесть ${displaystyle ho ^{2}}$

${displaystyle Phi (ho , heta )={frac {-lambda }{4pi epsilon }}left{2ln ho +ln left(1-{frac {ho ^{prime }}{ho }}e^{ileft( heta - heta ^{prime }ight)}ight)left(1-{frac {ho ^{prime }}{ho }}e^{-ileft( heta - heta ^{prime }ight)}ight)ight}}$

и расширить логарифмы в полномочиях ${displaystyle (ho ^{prime }/ho )<1}$

${displaystyle Phi (ho , heta )={frac {-lambda }{2pi epsilon }}left{ln ho -sum _{k=1}^{infty }left({frac {1}{k}}ight)left({frac {ho ^{prime }}{ho }}ight)^{k}left[cos k heta cos k heta ^{prime }+sin k heta sin k heta ^{prime }ight]ight}}$

который можно записать как

${displaystyle Phi (ho , heta )={frac {-Q}{2pi epsilon }}ln ho +left({frac {1}{2pi epsilon }}ight)sum _{k=1}^{infty }{frac {C_{k}cos k heta +S_{k}sin k heta }{ho ^{k}}}}$

где мультипольные моменты определяются как
${displaystyle Q=lambda ,}$
${displaystyle C_{k}={frac {lambda }{k}}left(ho ^{prime }ight)^{k}cos k heta ^{prime },}$
и
${displaystyle S_{k}={frac {lambda }{k}}left(ho ^{prime }ight)^{k}sin k heta ^{prime }.}$

И наоборот, если радиус ${displaystyle ho }$ точки наблюдения меньше чем радиус ${displaystyle ho ^{prime }}$ линейного заряда, мы можем вычесть ${displaystyle left(ho ^{prime }ight)^{2}}$ и разложить логарифмы в степени ${displaystyle (ho /ho ^{prime })<1}$

${displaystyle Phi (ho , heta )={frac {-lambda }{2pi epsilon }}left{ln ho ^{prime }-sum _{k=1}^{infty }left({frac {1}{k}}ight)left({frac {ho }{ho ^{prime }}}ight)^{k}left[cos k heta cos k heta ^{prime }+sin k heta sin k heta ^{prime }ight]ight}}$

который можно записать как

${displaystyle Phi (ho , heta )={frac {-Q}{2pi epsilon }}ln ho ^{prime }+left({frac {1}{2pi epsilon }}ight)sum _{k=1}^{infty }ho ^{k}left[I_{k}cos k heta +J_{k}sin k heta ight]}$

где внутренние мультипольные моменты определяются как
${displaystyle Q=lambda ,}$
${displaystyle I_{k}={frac {lambda }{k}}{frac {cos k heta ^{prime }}{left(ho ^{prime }ight)^{k}}},}$
и
${displaystyle J_{k}={frac {lambda }{k}}{frac {sin k heta ^{prime }}{left(ho ^{prime }ight)^{k}}}.}$

Общие цилиндрические мультипольные моменты

Обобщение на произвольное распределение линейных зарядов ${displaystyle lambda (ho ^{prime }, heta ^{prime })}$ просто. Функциональная форма такая же

${displaystyle Phi (mathbf {r} )={frac {-Q}{2pi epsilon }}ln ho +left({frac {1}{2pi epsilon }}ight)sum _{k=1}^{infty }{frac {C_{k}cos k heta +S_{k}sin k heta }{ho ^{k}}}}$

и моменты можно написать

${displaystyle Q=int d heta ^{prime }int ho ^{prime }dho ^{prime }lambda (ho ^{prime }, heta ^{prime })}$

${displaystyle C_{k}=left({frac {1}{k}}ight)int d heta ^{prime }int dho ^{prime }left(ho ^{prime }ight)^{k+1}lambda (ho ^{prime }, heta ^{prime })cos k heta ^{prime }}$

${displaystyle S_{k}=left({frac {1}{k}}ight)int d heta ^{prime }int dho ^{prime }left(ho ^{prime }ight)^{k+1}lambda (ho ^{prime }, heta ^{prime })sin k heta ^{prime }}$

Обратите внимание, что ${displaystyle lambda (ho ^{prime }, heta ^{prime })}$ представляет линейный заряд на единицу площади в ${displaystyle (ho - heta )}$ самолет.

Внутренние цилиндрические мультипольные моменты

Точно так же внутреннее цилиндрическое многополюсное расширение имеет функциональную форму

${displaystyle Phi (ho , heta )={frac {-Q}{2pi epsilon }}ln ho ^{prime }+left({frac {1}{2pi epsilon }}ight)sum _{k=1}^{infty }ho ^{k}left[I_{k}cos k heta +J_{k}sin k heta ight]}$

где моменты определены

${displaystyle Q=int d heta ^{prime }int ho ^{prime }dho ^{prime }lambda (ho ^{prime }, heta ^{prime })}$

${displaystyle I_{k}=left({frac {1}{k}}ight)int d heta ^{prime }int dho ^{prime }left[{frac {cos k heta ^{prime }}{left(ho ^{prime }ight)^{k-1}}}ight]lambda (ho ^{prime }, heta ^{prime })}$

${displaystyle J_{k}=left({frac {1}{k}}ight)int d heta ^{prime }int dho ^{prime }left[{frac {sin k heta ^{prime }}{left(ho ^{prime }ight)^{k-1}}}ight]lambda (ho ^{prime }, heta ^{prime })}$

Энергии взаимодействия цилиндрических мультиполей

Можно вывести простую формулу для энергии взаимодействия цилиндрических мультиполей (плотность заряда 1) со второй плотностью заряда. Позволять ${displaystyle f(mathbf {r} ^{prime })}$ - вторая плотность заряда, и определим ${displaystyle lambda (ho , heta )}$ как его интеграл по z

${displaystyle lambda (ho , heta )=int dz f(ho , heta ,z)}$

Электростатическая энергия дается интегралом заряда, умноженного на потенциал цилиндрических мультиполей.

${displaystyle U=int d heta int ho dho lambda (ho , heta )Phi (ho , heta )}$

Если цилиндрические мультиполи внешний вид, это уравнение принимает вид

${displaystyle U={frac {-Q_{1}}{2pi epsilon }}int ho dho lambda (ho , heta )ln ho }$

${displaystyle + left({frac {1}{2pi epsilon }}ight)sum _{k=1}^{infty }C_{1k}int d heta int dho left[{frac {cos k heta }{ho ^{k-1}}}ight]lambda (ho , heta )}$

${displaystyle + left({frac {1}{2pi epsilon }}ight)sum _{k=1}^{infty }S_{1k}int d heta int dho left[{frac {sin k heta }{ho ^{k-1}}}ight]lambda (ho , heta )}$

куда ${displaystyle Q_{1}}$, ${displaystyle C_{1k}}$ и ${displaystyle S_{1k}}$ - цилиндрические мультипольные моменты распределения заряда 1. Эта формула энергии может быть приведена к удивительно простой форме

${displaystyle U={frac {-Q_{1}}{2pi epsilon }}int ho dho lambda (ho , heta )ln ho +left({frac {1}{2pi epsilon }}ight)sum _{k=1}^{infty }kleft(C_{1k}I_{2k}+S_{1k}J_{2k}ight)}$

куда ${displaystyle I_{2k}}$ и ${displaystyle J_{2k}}$ - внутренние цилиндрические мультиполи второй плотности заряда.

Аналогичная формула верна, если плотность заряда 1 состоит из внутренних цилиндрических мультиполей

${displaystyle U={frac {-Q_{1}ln ho ^{prime }}{2pi epsilon }}int ho dho lambda (ho , heta )+left({frac {1}{2pi epsilon }}ight)sum _{k=1}^{infty }kleft(C_{2k}I_{1k}+S_{2k}J_{1k}ight)}$

куда ${displaystyle I_{1k}}$ и ${displaystyle J_{1k}}$ - внутренние цилиндрические мультипольные моменты распределения заряда 1, и ${displaystyle C_{2k}}$ и ${displaystyle S_{2k}}$ - внешние цилиндрические мультиполи второй плотности заряда.

В качестве примера эти формулы можно использовать для определения энергии взаимодействия небольшого белок в электростатическое поле двухцепочечного ДНК молекула; последний относительно прямой и несет постоянную линейную плотность заряда из-за фосфат группы его позвоночника.

Смотрите также

• Возможная теория
• Многополюсные моменты
• Многополюсное расширение
• Осевые мультипольные моменты
• Сферические мультипольные моменты