Дельта-функтор - Delta-functor

В гомологическая алгебра, а δ-функтор между двумя абелевы категории А и B это собрание функторы из А к B вместе с коллекцией морфизмы которые удовлетворяют свойствам, обобщающим свойства производные функторы. А универсальный δ-функтор является δ-функтором, удовлетворяющим специфическому универсальному свойству, связанному с продолжением морфизмов за пределы «степени 0». Эти понятия были введены Александр Гротендик в его "Бумага Тохоку ", чтобы обеспечить подходящую настройку для производных функторов.[1] В частности, производные функторы являются универсальными δ-функторами.

Условия гомологический δ-функтор и когомологический δ-функтор иногда используются, чтобы отличить тот случай, когда морфизмы «идут вниз» (гомологический) и случай, когда они «идут вверх» (когомологический). В частности, один из этих модификаторов всегда неявный, хотя часто не указывается.

Определение

Учитывая две абелевы категории А и B а ковариантный когомологический δ-функтор между А и B это семья {Тп} из ковариантный аддитивные функторы Тп : АB индексированный посредством неотрицательные целые числа, и для каждого короткая точная последовательность

семейство морфизмов

проиндексированы неотрицательными целыми числами, удовлетворяющими следующим двум свойствам:

1. Для каждой короткой точной последовательности, как указано выше, есть длинная точная последовательность

DeltaFunctorLongExactSequence.png

2. Для каждого морфизма коротких точных последовательностей

Морфизм коротких точных последовательностей.png

и для каждого неотрицательного пиндуцированный квадрат

DeltaFunctorFunctoriality.png

коммутативна (δп вверху - последовательность, соответствующая короткой точной последовательности M, тогда как нижний соответствует короткой точной последовательности Ns).

Второе свойство выражает функториальность δ-функтора. Модификатор «когомологический» указывает, что δп поднять индекс Т. А ковариантный гомологический δ-функтор между А и B аналогично определяется (и обычно использует индексы), но с δп морфизм Тп(M '') → Тп-1(M '). Представления о контравариантный когомологический δ-функтор между А и B и контравариантный гомологический δ-функтор между А и B также может быть определено соответствующим «обращением стрелок».

Морфизмы δ-функторов

А морфизм δ-функторов это семья естественные преобразования что для каждой короткой точной последовательности коммутируют с морфизмами δ. Например, в случае двух ковариантных когомологических δ-функторов, обозначенных S и Т, морфизм из S к Т это семья Fп : Sп → Тп естественных преобразований таких, что для каждой короткой точной последовательности

следующая диаграмма коммутирует:

MorphismOfDeltaFunctors.png

Универсальный δ-функтор

А универсальный δ-функтор характеризуется (универсальный ) свойство, дающее морфизм от него к любому другому δ-функтору (между А и B) эквивалентно предоставлению просто F0. Если S обозначает ковариантный когомологический δ-функтор между А и B, тогда S универсален, если задан любой другой (ковариантно когомологический) δ-функтор Т (между А и B), и при любом естественном преобразовании

есть уникальная последовательность Fп индексируется такими положительными целыми числами, что семейство { Fп }п ≥ 0 является морфизмом δ-функторов.

Смотрите также

Примечания

Рекомендации

  • Гротендик, Александр (1957), "Sur quelques points d'algèbre homologique", Математический журнал Тохоку, Вторая серия, 9 (2–3), МИСТЕР  0102537