Теорема Данжуа – Карлемана – Альфорса. - Denjoy–Carleman–Ahlfors theorem

В Теорема Данжуа – Карлемана – Альфорса. заявляет, что количество асимптотический значения достигаются непостоянным вся функция порядка ρ на кривых, уходящих наружу к бесконечному абсолютному значению, меньше или равно 2ρ. Впервые это было предположено Арно Данжуа в 1907 г.^[1]Торстен Карлеман показал, что количество асимптотических значений было меньше или равно (5/2) ρ в 1921 г.^[2]В 1929 г. Ларс Альфорс подтвердил гипотезу Данжуа о 2ρ.^[3]Наконец, в 1933 году Карлеман опубликовал очень короткое доказательство.^[4]

Использование термина «асимптотическое значение» не означает, что отношение этого значения к значению функции приближается к 1 (как в асимптотический анализ ) при движении по определенной кривой, а скорее о приближении значения функции к асимптотическому значению вдоль кривой. Например, при движении вдоль вещественной оси к отрицательной бесконечности функция ${\displaystyle \exp(z)}$ приближается к нулю, но частное ${\displaystyle 0/\exp(z)}$ не переходит в 1.

Примеры

Функция ${\displaystyle \exp(z)}$ имеет порядок 1 и имеет только одно асимптотическое значение, а именно 0. То же самое верно и для функции ${\displaystyle \sin(z)/z,}$ но асимптота достигается в двух противоположных направлениях.

Случай, когда количество асимптотических значений равно 2ρ, есть интеграл синуса ${\displaystyle {\text{Si}}(z)=\int _{0}^{z}{\frac {\sin \zeta }{\zeta }}\,d\zeta }$, функция порядка 1, которая стремится к −π / 2 вдоль вещественной оси, идущей к отрицательной бесконечности, и к + π / 2 в противоположном направлении.

Интеграл функции ${\displaystyle a\sin(z^{2})/z+b\sin(z^{2})/z^{2}}$ является примером функции порядка 2 с четырьмя асимптотическими значениями (если б не равно нулю), приближается по мере продвижения от нуля вдоль действительной и мнимой осей.

В более общем смысле, ${\displaystyle f(z)=\int _{0}^{z}{\frac {\sin(\zeta ^{\rho })}{\zeta ^{\rho }}}d\zeta ,}$ где ρ - любое натуральное число, имеет порядок ρ и имеет асимптотические значения 2ρ.

Ясно, что теорема применима к многочленам, только если они не постоянны. Постоянный многочлен имеет 1 асимптотическое значение, но имеет порядок 0.

Рекомендации

1. Арно Данжуа (8 июля 1907 г.). "Sur les fonctions entiéres de genre fini". Comptes Rendus de l'Académie des Sciences. 145: 106–8.
2. Т. Карлеман (1921). "Sur les fonctions invses des fonctions entières d'ordre fini". Arkiv för Matematik, Astronomi och Fysik. 15 (10): 7.
3. Л. Альфорс (1929). "Über die asymptotischen Werte der ganzen Funktionen endlicher Ordnung". Annales Academiae Scientiarum Fennicae. 32 (6): 15.
4. Т. Карлеман (3 апреля 1933 г.). "Sur une inégalité différentielle dans la théorie des fonctions analytiques". Comptes Rendus de l'Académie des Sciences. 196: 995–7.