Вывод массива Рауса - Derivation of the Routh array

Массив Рауса - это табличный метод позволяющий установить стабильность системы, использующей только коэффициенты характеристики многочлен. Центральное место в области проектирование систем управления, то Теорема Рауса – Гурвица и массив Рауса появляются с помощью Евклидов алгоритм и Теорема Штурма в оценке Индексы Коши.

Индекс Коши

Учитывая систему:

${displaystyle {egin{aligned}f(x)&{}=a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+cdots +a_{n}&{}quad (1)&{}=(x-r_{1})(x-r_{2})cdots (x-r_{n})&{}quad (2)end{aligned}}}$

Если не считать корней ${displaystyle f(x)=0}$ лежать на воображаемой оси и позволяя

${displaystyle N}$ = Количество корней ${displaystyle f(x)=0}$ с отрицательными реальными частями, и

${displaystyle P}$ = Количество корней ${displaystyle f(x)=0}$ с положительными реальными частями

тогда у нас есть

${displaystyle N+P=nquad (3)}$

Выражая ${displaystyle f(x)}$ в полярной форме имеем

${displaystyle f(x)=ho (x)e^{j heta (x)}quad (4)}$

куда

${displaystyle ho (x)={sqrt {{mathfrak {Re}}^{2}[f(x)]+{mathfrak {Im}}^{2}[f(x)]}}quad (5)}$

и

${displaystyle heta (x)= an ^{-1}{ig (}{mathfrak {Im}}[f(x)]/{mathfrak {Re}}[f(x)]{ig )}quad (6)}$

из (2) заметим, что

${displaystyle heta (x)= heta _{r_{1}}(x)+ heta _{r_{2}}(x)+cdots + heta _{r_{n}}(x)quad (7)}$

куда

${displaystyle heta _{r_{i}}(x)=angle (x-r_{i})quad (8)}$

Теперь, если я^th корень ${displaystyle f(x)=0}$ имеет положительную действительную часть, то (используя обозначение y = (RE [y], IM [y]))

${displaystyle {egin{aligned} heta _{r_{i}}(x){ig |}_{x=-jinfty }&=angle (x-r_{i}){ig |}_{x=-jinfty }&=angle (0-{mathfrak {Re}}[r_{i}],-infty -{mathfrak {Im}}[r_{i}])&=angle (-|{mathfrak {Re}}[r_{i}]|,-infty )&=pi +lim _{phi o infty } an ^{-1}phi ={frac {3pi }{2}}quad (9)end{aligned}}}$

и

${displaystyle heta _{r_{i}}(x){ig |}_{x=j0}=angle (-|{mathfrak {Re}}[r_{i}]|,0)=pi - an ^{-1}0=pi quad (10)}$

и

${displaystyle heta _{r_{i}}(x){ig |}_{x=jinfty }=angle (-|{mathfrak {Re}}[r_{i}]|,infty )=pi -lim _{phi o infty } an ^{-1}phi ={frac {pi }{2}}quad (11)}$

Аналогично, если i^th корень ${displaystyle f(x)=0}$ имеет отрицательную действительную часть,

${displaystyle {egin{aligned} heta _{r_{i}}(x){ig |}_{x=-jinfty }&=angle (x-r_{i}){ig |}_{x=-jinfty }&=angle (0-{mathfrak {Re}}[r_{i}],-infty -{mathfrak {Im}}[r_{i}])&=angle (|{mathfrak {Re}}[r_{i}]|,-infty )&=0-lim _{phi o infty } an ^{1}phi =-{frac {pi }{2}}quad (12)end{aligned}}}$

и

${displaystyle heta _{r_{i}}(x){ig |}_{x=j0}=angle (|{mathfrak {Re}}[r_{i}]|,0)= an ^{-1}0=0,quad (13)}$

и

${displaystyle heta _{r_{i}}(x){ig |}_{x=jinfty }=angle (|{mathfrak {Re}}[r_{i}]|,infty )=lim _{phi o infty } an ^{-1}phi ={frac {pi }{2}},quad (14)}$

Из (9) - (11) находим, что ${displaystyle heta _{r_{i}}(x){Big |}_{x=-jinfty }^{x=jinfty }=-pi }$ когда я^th корень ${displaystyle f(x)}$ имеет положительную действительную часть, и из (12) - (14) находим, что ${displaystyle heta _{r_{i}}(x){Big |}_{x=-jinfty }^{x=jinfty }=pi }$ когда я^th корень ${displaystyle f(x)}$ имеет отрицательную действительную часть. Таким образом,

${displaystyle heta (x){Big |}_{x=-jinfty }^{x=jinfty }=angle (x-r_{1}){Big |}_{x=-jinfty }^{x=jinfty }+angle (x-r_{2}){Big |}_{x=-jinfty }^{x=jinfty }+cdots +angle (x-r_{n}){Big |}_{x=-jinfty }^{x=jinfty }=pi N-pi Pquad (15)}$

Итак, если мы определим

${displaystyle Delta ={frac {1}{pi }} heta (x){Big |}_{-jinfty }^{jinfty }quad (16)}$

тогда у нас есть отношения

${displaystyle N-P=Delta quad (17)}$

и объединение (3) и (17) дает нам

${displaystyle N={frac {n+Delta }{2}}}$ и ${displaystyle P={frac {n-Delta }{2}}quad (18)}$

Следовательно, учитывая уравнение ${displaystyle f(x)}$ степени ${displaystyle n}$ нам нужно только оценить эту функцию ${displaystyle Delta }$ определить ${displaystyle N}$, количество корней с отрицательными действительными частями и ${displaystyle P}$, количество корней с положительными действительными частями.

Рисунок 1

${displaystyle an( heta )}$ против ${displaystyle heta }$

В соответствии с (6) и рис.1 график ${displaystyle an( heta )}$ против ${displaystyle heta }$, варьируя ${displaystyle x}$ на интервале (a, b), где ${displaystyle heta _{a}= heta (x)|_{x=ja}}$ и ${displaystyle heta _{b}= heta (x)|_{x=jb}}$ являются целыми числами, кратными ${displaystyle pi }$, эта вариация вызывает функцию ${displaystyle heta (x)}$ увеличиться на ${displaystyle pi }$, указывает на то, что при движении из точки а в точку б, ${displaystyle heta }$ "выпрыгнул" из ${displaystyle +infty }$ к ${displaystyle -infty }$ еще раз, чем он прыгнул ${displaystyle -infty }$ к ${displaystyle +infty }$. Аналогично, если мы изменим ${displaystyle x}$ на интервале (a, b) это изменение, вызывающее ${displaystyle heta (x)}$ уменьшиться на ${displaystyle pi }$, где снова ${displaystyle heta }$ кратно ${displaystyle pi }$ на обоих ${displaystyle x=ja}$ и ${displaystyle x=jb}$, следует, что ${displaystyle an heta (x)={mathfrak {Im}}[f(x)]/{mathfrak {Re}}[f(x)]}$ прыгнул с ${displaystyle -infty }$ к ${displaystyle +infty }$ еще раз, чем он прыгнул ${displaystyle +infty }$ к ${displaystyle -infty }$ в качестве ${displaystyle x}$ варьировалась в указанном интервале.

Таким образом, ${displaystyle heta (x){Big |}_{-jinfty }^{jinfty }}$ является ${displaystyle pi }$ умноженная на разницу между количеством точек, в которых ${displaystyle {mathfrak {Im}}[f(x)]/{mathfrak {Re}}[f(x)]}$ прыгает из ${displaystyle -infty }$ к ${displaystyle +infty }$ и количество точек, в которых ${displaystyle {mathfrak {Im}}[f(x)]/{mathfrak {Re}}[f(x)]}$ прыгает из ${displaystyle +infty }$ к ${displaystyle -infty }$ в качестве ${displaystyle x}$ колеблется в интервале ${displaystyle (-jinfty ,+jinfty ,)}$ при условии, что в ${displaystyle x=pm jinfty }$, ${displaystyle an[ heta (x)]}$ определено.

фигура 2

${displaystyle -cot( heta )}$ против ${displaystyle heta }$

В случае, когда отправная точка несовместима (т.е. ${displaystyle heta _{a}=pi /2pm ipi }$, я = 0, 1, 2, ...) конечная точка также будет несовместима с уравнением (17) (поскольку ${displaystyle N}$ целое число и ${displaystyle P}$ целое число, ${displaystyle Delta }$ будет целым числом). В этом случае мы можем добиться того же показателя (разницы в положительных и отрицательных скачках), сдвинув оси касательной функции на ${displaystyle pi /2}$, добавив ${displaystyle pi /2}$ к ${displaystyle heta }$. Таким образом, наш индекс теперь полностью определен для любой комбинации коэффициентов в ${displaystyle f(x)}$ оценивая ${displaystyle an[ heta ]={mathfrak {Im}}[f(x)]/{mathfrak {Re}}[f(x)]}$ на интервале (a, b) = ${displaystyle (+jinfty ,-jinfty )}$ когда наша начальная (и, следовательно, конечная) точка не является несоответствием, и оценивая

${displaystyle an[ heta '(x)]= an[ heta +pi /2]=-cot[ heta (x)]=-{mathfrak {Re}}[f(x)]/{mathfrak {Im}}[f(x)]quad (19)}$

в течение указанного интервала, когда наша отправная точка несовместима.

Эта разница, ${displaystyle Delta }$, отрицательных и положительных несоответствий прыжков, обнаруженных при пересечении ${displaystyle x}$ из ${displaystyle -jinfty }$ к ${displaystyle +jinfty }$ называется индексом Коши тангенса фазового угла, причем фазовый угол равен ${displaystyle heta (x)}$ или же ${displaystyle heta '(x)}$, в зависимости от ${displaystyle heta _{a}}$ является целым числом, кратным ${displaystyle pi }$ или нет.

Критерий Рауса

Чтобы вывести критерий Рауса, сначала мы будем использовать другую нотацию, чтобы различать четные и нечетные члены ${displaystyle f(x)}$:

${displaystyle f(x)=a_{0}x^{n}+b_{0}x^{n-1}+a_{1}x^{n-2}+b_{1}x^{n-3}+cdots quad (20)}$

Теперь у нас есть:

${displaystyle {egin{aligned}f(jomega )&=a_{0}(jomega )^{n}+b_{0}(jomega )^{n-1}+a_{1}(jomega )^{n-2}+b_{1}(jomega )^{n-3}+cdots &{}quad (21)&=a_{0}(jomega )^{n}+a_{1}(jomega )^{n-2}+a_{2}(jomega )^{n-4}+cdots &{}quad (22)&+b_{0}(jomega )^{n-1}+b_{1}(jomega )^{n-3}+b_{2}(jomega )^{n-5}+cdots end{aligned}}}$

Следовательно, если ${displaystyle n}$ даже,

${displaystyle {egin{aligned}f(jomega )&=(-1)^{n/2}{ig [}a_{0}omega ^{n}-a_{1}omega ^{n-2}+a_{2}omega ^{n-4}-cdots {ig ]}&{}quad (23)&+j(-1)^{(n/2)-1}{ig [}b_{0}omega ^{n-1}-b_{1}omega ^{n-3}+b_{2}omega ^{n-5}-cdots {ig ]}&{}end{aligned}}}$

и если ${displaystyle n}$ странно:

${displaystyle {egin{aligned}f(jomega )&=j(-1)^{(n-1)/2}{ig [}a_{0}omega ^{n}-a_{1}omega ^{n-2}+a_{2}omega ^{n-4}-cdots {ig ]}&{}quad (24)&+(-1)^{(n-1)/2}{ig [}b_{0}omega ^{n-1}-b_{1}omega ^{n-3}+b_{2}omega ^{n-5}-cdots {ig ]}&{}end{aligned}}}$

Теперь заметьте, что если ${displaystyle n}$ - целое нечетное число, то по (3) ${displaystyle N+P}$ странно. Если ${displaystyle N+P}$ - нечетное целое число, тогда ${displaystyle N-P}$ тоже странно. Точно так же этот же аргумент показывает, что когда ${displaystyle n}$ даже, ${displaystyle N-P}$ будет даже. Уравнение (15) показывает, что если ${displaystyle N-P}$ даже, ${displaystyle heta }$ является целым числом, кратным ${displaystyle pi }$. Следовательно, ${displaystyle an( heta )}$ определяется для ${displaystyle n}$ четный, и, таким образом, правильный индекс для использования, когда n четно, и аналогично ${displaystyle an( heta ')= an( heta +pi )=-cot( heta )}$ определяется для ${displaystyle n}$ odd, что делает его правильным индексом в последнем случае.

Таким образом, из (6) и (23) при ${displaystyle n}$ четное:

${displaystyle Delta =I_{-infty }^{+infty }{frac {-{mathfrak {Im}}[f(x)]}{{mathfrak {Re}}[f(x)]}}=I_{-infty }^{+infty }{frac {b_{0}omega ^{n-1}-b_{1}omega ^{n-3}+cdots }{a_{0}omega ^{n}-a_{1}omega ^{n-2}+ldots }}quad (25)}$

а из (19) и (24) для ${displaystyle n}$ странный:

${displaystyle Delta =I_{-infty }^{+infty }{frac {{mathfrak {Re}}[f(x)]}{{mathfrak {Im}}[f(x)]}}=I_{-infty }^{+infty }{frac {b_{0}omega ^{n-1}-b_{1}omega ^{n-3}+ldots }{a_{0}omega ^{n}-a_{1}omega ^{n-2}+ldots }}quad (26)}$

И вот, мы оцениваем один и тот же индекс Коши для обоих:

${displaystyle Delta =I_{-infty }^{+infty }{frac {b_{0}omega ^{n-1}-b_{1}omega ^{n-3}+ldots }{a_{0}omega ^{n}-a_{1}omega ^{n-2}+ldots }}quad (27)}$

Теорема Штурма

Штурм дает нам метод оценки ${displaystyle Delta =I_{-infty }^{+infty }{frac {f_{2}(x)}{f_{1}(x)}}}$. Его теорема гласит следующее:

Дана последовательность многочленов ${displaystyle f_{1}(x),f_{2}(x),dots ,f_{m}(x)}$ куда:

1) Если ${displaystyle f_{k}(x)=0}$ тогда ${displaystyle f_{k-1}(x)eq 0}$, ${displaystyle f_{k+1}(x)eq 0}$, и ${displaystyle operatorname {sign} [f_{k-1}(x)]=-operatorname {sign} [f_{k+1}(x)]}$

2) ${displaystyle f_{m}(x)eq 0}$ за ${displaystyle -infty <x<infty }$

и мы определяем ${displaystyle V(x)}$ как количество смен знака в последовательности ${displaystyle f_{1}(x),f_{2}(x),dots ,f_{m}(x)}$ за фиксированное значение ${displaystyle x}$, тогда:

${displaystyle Delta =I_{-infty }^{+infty }{frac {f_{2}(x)}{f_{1}(x)}}=V(-infty )-V(+infty )quad (28)}$

Последовательность, удовлетворяющая этим требованиям, получается с помощью Евклидов алгоритм, который выглядит следующим образом:

Начиная с ${displaystyle f_{1}(x)}$ и ${displaystyle f_{2}(x)}$, и обозначая оставшуюся часть ${displaystyle f_{1}(x)/f_{2}(x)}$ к ${displaystyle f_{3}(x)}$ и аналогично обозначая оставшуюся часть ${displaystyle f_{2}(x)/f_{3}(x)}$ к ${displaystyle f_{4}(x)}$, и так далее, получаем соотношения:

${displaystyle {egin{aligned}&f_{1}(x)=q_{1}(x)f_{2}(x)-f_{3}(x)quad (29)&f_{2}(x)=q_{2}(x)f_{3}(x)-f_{4}(x)&ldots &f_{m-1}(x)=q_{m-1}(x)f_{m}(x)end{aligned}}}$

или вообще

${displaystyle f_{k-1}(x)=q_{k-1}(x)f_{k}(x)-f_{k+1}(x)}$

где последний ненулевой остаток, ${displaystyle f_{m}(x)}$ поэтому будет наивысшим общим фактором ${displaystyle f_{1}(x),f_{2}(x),dots ,f_{m-1}(x)}$. Можно заметить, что построенная таким образом последовательность будет удовлетворять условиям теоремы Штурма, и, таким образом, был разработан алгоритм для определения указанного индекса.

Именно при применении теоремы Штурма (28) к (29) с использованием описанного выше алгоритма Евклида формируется матрица Рауса.

Мы получили

${displaystyle f_{3}(omega )={frac {a_{0}}{b_{0}}}f_{2}(omega )-f_{1}(omega )quad (30)}$

и идентифицируя коэффициенты этого остатка как ${displaystyle c_{0}}$, ${displaystyle -c_{1}}$, ${displaystyle c_{2}}$, ${displaystyle -c_{3}}$и т. д. делает наш сформированный остаток

${displaystyle f_{3}(omega )=c_{0}omega ^{n-2}-c_{1}omega ^{n-4}+c_{2}omega ^{n-6}-cdots quad (31)}$

куда

${displaystyle c_{0}=a_{1}-{frac {a_{0}}{b_{0}}}b_{1}={frac {b_{0}a_{1}-a_{1}b_{0}}{b_{0}}};c_{1}=a_{2}-{frac {a_{0}}{b_{0}}}b_{2}={frac {b_{0}a_{2}-a_{0}b_{2}}{b_{0}}};ldots quad (32)}$

Продолжение алгоритма Евклида с этими новыми коэффициентами дает нам

${displaystyle f_{4}(omega )={frac {b_{0}}{c_{0}}}f_{3}(omega )-f_{2}(omega )quad (33)}$

где мы снова обозначаем коэффициенты при остатке ${displaystyle f_{4}(omega )}$ к ${displaystyle d_{0}}$, ${displaystyle -d_{1}}$, ${displaystyle d_{2}}$, ${displaystyle -d_{3}}$,

делая наш сформированный остаток

${displaystyle f_{4}(omega )=d_{0}omega ^{n-3}-d_{1}omega ^{n-5}+d_{2}omega ^{n-7}-cdots quad (34)}$

и давая нам

${displaystyle d_{0}=b_{1}-{frac {b_{0}}{c_{0}}}c_{1}={frac {c_{0}b_{1}-b_{1}c_{0}}{c_{0}}};d_{1}=b_{2}-{frac {b_{0}}{c_{0}}}c_{2}={frac {c_{0}b_{2}-b_{0}c_{2}}{c_{0}}};ldots quad (35)}$

Строки массива Рауса определяются именно этим алгоритмом при применении к коэффициентам (20). Следует отметить, что в обычном случае многочлены ${displaystyle f_{1}(omega )}$ и ${displaystyle f_{2}(omega )}$ иметь как высший общий фактор ${displaystyle f_{n+1}(omega )}$ и таким образом будет ${displaystyle n}$ многочлены в цепочке ${displaystyle f_{1}(x),f_{2}(x),dots ,f_{m}(x)}$.

Заметим теперь, что при определении знаков членов последовательности многочленов ${displaystyle f_{1}(x),f_{2}(x),dots ,f_{m}(x)}$ что в ${displaystyle omega =pm infty }$ доминирующая сила ${displaystyle omega }$ будет первым членом каждого из этих многочленов, и, следовательно, только те коэффициенты, соответствующие старшим степеням ${displaystyle omega }$ в ${displaystyle f_{1}(x),f_{2}(x),dots }$, и ${displaystyle f_{m}(x)}$, которые ${displaystyle a_{0}}$, ${displaystyle b_{0}}$, ${displaystyle c_{0}}$, ${displaystyle d_{0}}$, ... определить признаки ${displaystyle f_{1}(x)}$, ${displaystyle f_{2}(x)}$, ..., ${displaystyle f_{m}(x)}$ в ${displaystyle omega =pm infty }$.

Итак, мы получаем ${displaystyle V(+infty )=V(a_{0},b_{0},c_{0},d_{0},dots )}$ то есть, ${displaystyle V(+infty )}$ количество смен знака в последовательности ${displaystyle a_{0}infty ^{n}}$, ${displaystyle b_{0}infty ^{n-1}}$, ${displaystyle c_{0}infty ^{n-2}}$, ... количество смен знака в последовательности ${displaystyle a_{0}}$, ${displaystyle b_{0}}$, ${displaystyle c_{0}}$, ${displaystyle d_{0}}$, ... и ${displaystyle V(-infty )=V(a_{0},-b_{0},c_{0},-d_{0},...)}$; то есть ${displaystyle V(-infty )}$ количество смен знака в последовательности ${displaystyle a_{0}(-infty )^{n}}$, ${displaystyle b_{0}(-infty )^{n-1}}$, ${displaystyle c_{0}(-infty )^{n-2}}$, ... количество смен знака в последовательности ${displaystyle a_{0}}$, ${displaystyle -b_{0}}$, ${displaystyle c_{0}}$, ${displaystyle -d_{0}}$, ...

Поскольку наша сеть ${displaystyle a_{0}}$, ${displaystyle b_{0}}$, ${displaystyle c_{0}}$, ${displaystyle d_{0}}$, ... буду иметь ${displaystyle n}$ члены ясно, что ${displaystyle V(+infty )+V(-infty )=n}$ поскольку внутри ${displaystyle V(a_{0},b_{0},c_{0},d_{0},dots )}$ если идет от ${displaystyle a_{0}}$ к ${displaystyle b_{0}}$ изменение знака не произошло, в пределах ${displaystyle V(a_{0},-b_{0},c_{0},-d_{0},dots )}$ идущий от ${displaystyle a_{0}}$ к ${displaystyle -b_{0}}$ один имеет, и так же для всех ${displaystyle n}$ переходов (не будет членов, равных нулю), дающие нам ${displaystyle n}$ общее изменение знака.

В качестве ${displaystyle Delta =V(-infty )-V(+infty )}$ и ${displaystyle n=V(+infty )+V(-infty )}$, а из (18) ${displaystyle P=(n-Delta /2)}$у нас есть это ${displaystyle P=V(+infty )=V(a_{0},b_{0},c_{0},d_{0},dots )}$ и получили теорему Рауса -

Количество корней действительного многочлена ${displaystyle f(z)}$ лежащие в правой полуплоскости ${displaystyle {mathfrak {Re}}(r_{i})>0}$ равно количеству смен знака в первом столбце схемы Рауса.

И для стабильного случая, когда ${displaystyle P=0}$ тогда ${displaystyle V(a_{0},b_{0},c_{0},d_{0},dots )=0}$ по которому мы имеем знаменитый критерий Рауса:

Чтобы все корни многочлена ${displaystyle f(z)}$ чтобы иметь отрицательные действительные части, необходимо и достаточно, чтобы все элементы в первом столбце схемы Рауса были отличны от нуля и имели одинаковый знак.

Рекомендации

• Гурвиц, А., "Об условиях, при которых уравнение имеет только корни с отрицательными действительными частями", Rpt. в избранных статьях по математическим направлениям теории управления / Под ред. R. T. Ballman et al. Нью-Йорк: Дувр 1964
• Раус Э. Дж. Трактат об устойчивости данного состояния движения. Лондон: Macmillan, 1877. Rpt. в области устойчивости движения / Под ред. А. Т. Фуллер. Лондон: Тейлор и Фрэнсис, 1975
• Феликс Гантмахер (Переводчик Дж. Л. Бреннера) (1959) Приложения теории матриц, стр 177–80, Нью-Йорк: Interscience.