Мера риска отклонения - Deviation risk measure

В финансовая математика, а мера риска отклонения функция для количественной оценки финансовый риск (и не обязательно риск убытков ) другим способом, нежели общий мера риска. Меры риска отклонения обобщают понятие стандартное отклонение.

Математическое определение

Функция ${\displaystyle D:{\mathcal {L}}^{2}\to [0,+\infty ]}$, куда ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{2}}$ это L2 пространство из случайные переменные (случайный доходность портфеля ), является мерой риска отклонения, если

1. Сдвиг-инвариант: ${\displaystyle D(X+r)=D(X)}$ для любого ${\displaystyle r\in \mathbb {R} }$
2. Нормализация: ${\displaystyle D(0)=0}$
3. Положительно однородный: ${\displaystyle D(\lambda X)=\lambda D(X)}$ для любого ${\displaystyle X\in {\mathcal {L}}^{2}}$ и ${\displaystyle \lambda >0}$
4. Сублинейность: ${\displaystyle D(X+Y)\leq D(X)+D(Y)}$ для любого ${\displaystyle X,Y\in {\mathcal {L}}^{2}}$
5. Позитивность: ${\displaystyle D(X)>0}$ для всех непостоянных Икс, и ${\displaystyle D(X)=0}$ для любой постоянной Икс.^[1][2]

Отношение к мере риска

Существует один к одному взаимосвязь между мерой риска отклонения D и ограниченное ожиданием мера риска р где для любого ${\displaystyle X\in {\mathcal {L}}^{2}}$

• ${\displaystyle D(X)=R(X-\mathbb {E} [X])}$
• ${\displaystyle R(X)=D(X)-\mathbb {E} [X]}$.

р ограничено ожидание, если ${\displaystyle R(X)>\mathbb {E} [-X]}$ для любого непостоянного Икс и ${\displaystyle R(X)=\mathbb {E} [-X]}$ для любой постоянной Икс.

Если ${\displaystyle D(X)<\mathbb {E} [X]-\operatorname {ess\inf } X}$ для каждого Икс (куда ${\displaystyle \operatorname {ess\inf } }$ это существенная нижняя грань ), то существует связь между D и согласованная мера риска.^[1]

Примеры

Наиболее известные примеры мер по отклонению от риска:^[1]

• Стандартное отклонение ${\displaystyle \sigma (X)={\sqrt {E[(X-EX)^{2}]}}}$;
• Среднее абсолютное отклонение ${\displaystyle MAD(X)=E(|X-EX|)}$;
• Нижние и верхние полуотклонения ${\displaystyle \sigma _{-}(X)={\sqrt {{E[(X-EX)_{-}}^{2}]}}}$ и ${\displaystyle \sigma _{+}(X)={\sqrt {{E[(X-EX)_{+}}^{2}]}}}$, куда ${\displaystyle [X]_{-}:=\max\{0,-X\}}$ и ${\displaystyle [X]_{+}:=\max\{0,X\}}$;
• Отклонения на основе диапазона, например, ${\displaystyle D(X)=EX-\inf X}$ и ${\displaystyle D(X)=\sup X-\inf X}$;
• Условное отклонение от риска (CVaR), определенное для любого ${\displaystyle \alpha \in (0,1)}$ к ${\displaystyle {\rm {CVaR}}_{\alpha }^{\Delta }(X)\equiv ES_{\alpha }(X-EX)}$, куда ${\displaystyle ES_{\alpha }(X)}$ является Ожидаемый дефицит.

Смотрите также

• Единичный риск

Рекомендации

1. Рокафеллар, Тиррелл; Урясев, Станислав; Забаранкин, Михаил (2002). «Меры отклонения в анализе и оптимизации рисков». SSRN  365640.
2. Ченг, Сивэй; Лю, Яньхуэй; Ван, Шоуян (2004). «Прогресс в измерении рисков». Расширенное моделирование и оптимизация. 6 (1).